Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72138 / 95655
↖ ↑ ↗
← S 63.439458°
E 18.132934°		 ← 136.57 m → S 63.439458°
E 18.135681°		 →
↑
136.59 m
↓
↑
136.59 m
↓
S 63.440687°
E 18.132934°		 ← 136.56 m →
18 654 m²		 S 63.440687°
E 18.135681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550373077392578 y=0.729793548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550373077392578 × 217)
    floor (0.550373077392578 × 131072)
    floor (72138.5)     		tx = 72138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729793548583984 × 217)
    floor (0.729793548583984 × 131072)
    floor (95655.5)     		ty = 95655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72138 / 95655 ti = "17/72138/95655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72138/95655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72138 ÷ 217
    72138 ÷ 131072     		x = 0.550369262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95655 ÷ 217
    95655 ÷ 131072     		y = 0.729789733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550369262695312 × 2 - 1) × π
    0.100738525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31647941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729789733886719 × 2 - 1) × π
    -0.459579467773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.44381147965647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31647941} λ = 0.31647941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44381147965647))-π/2
    2×atan(0.23602643213491)-π/2
    2×0.231784451800399-π/2
    0.463568903600799-1.57079632675     		φ = -1.10722742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31647941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.132934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10722742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.439458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72138 KachelY 95655 0.31647941 -1.10722742 18.132934 -63.439458
    Oben rechts KachelX + 1 72139 KachelY 95655 0.31652735 -1.10722742 18.135681 -63.439458
    Unten links KachelX 72138 KachelY + 1 95656 0.31647941 -1.10724886 18.132934 -63.440687
    Unten rechts KachelX + 1 72139 KachelY + 1 95656 0.31652735 -1.10724886 18.135681 -63.440687
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10722742--1.10724886) × R
    2.14399999998172e-05 × 6371000     		dl = 136.594239998835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10722742--1.10724886) × R
    2.14399999998172e-05 × 6371000     		dr = 136.594239998835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31647941-0.31652735) × cos(-1.10722742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447143200722045 × 6371000     		do = 136.569042966409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31647941-0.31652735) × cos(-1.10724886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447124023345743 × 6371000     		du = 136.563185702061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10722742)-sin(-1.10724886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447143200722045-0.447124023345743)×R²
    abs(0.31652735-0.31647941)×1.91773763011938e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91773763011938e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91773763011938e-05×40589641000000     		ar = 18654.1445978809m²