Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72137 / 95651
↖ ↑ ↗
← S 63.434546°
E 18.130188°		 ← 136.59 m → S 63.434546°
E 18.132934°		 →
↑
136.59 m
↓
↑
136.59 m
↓
S 63.435774°
E 18.130188°		 ← 136.59 m →
18 657 m²		 S 63.435774°
E 18.132934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550365447998047 y=0.729763031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550365447998047 × 217)
    floor (0.550365447998047 × 131072)
    floor (72137.5)     		tx = 72137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729763031005859 × 217)
    floor (0.729763031005859 × 131072)
    floor (95651.5)     		ty = 95651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72137 / 95651 ti = "17/72137/95651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72137/95651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72137 ÷ 217
    72137 ÷ 131072     		x = 0.550361633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95651 ÷ 217
    95651 ÷ 131072     		y = 0.729759216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550361633300781 × 2 - 1) × π
    0.100723266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.31643147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729759216308594 × 2 - 1) × π
    -0.459518432617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.44361973205799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31643147} λ = 0.31643147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44361973205799))-π/2
    2×atan(0.236071693975735)-π/2
    2×0.231827324794021-π/2
    0.463654649588041-1.57079632675     		φ = -1.10714168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31643147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.130188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10714168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.434546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72137 KachelY 95651 0.31643147 -1.10714168 18.130188 -63.434546
    Oben rechts KachelX + 1 72138 KachelY 95651 0.31647941 -1.10714168 18.132934 -63.434546
    Unten links KachelX 72137 KachelY + 1 95652 0.31643147 -1.10716312 18.130188 -63.435774
    Unten rechts KachelX + 1 72138 KachelY + 1 95652 0.31647941 -1.10716312 18.132934 -63.435774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10714168--1.10716312) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dl = 136.59424000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10714168--1.10716312) × R
    2.14400000000392e-05 × 6371000     		dr = 136.59424000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31643147-0.31647941) × cos(-1.10714168) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447219890283282 × 6371000     		do = 136.592465932559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31643147-0.31647941) × cos(-1.10716312) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.447200713729001 × 6371000     		du = 136.586608919277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10714168)-sin(-1.10716312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447219890283282-0.447200713729001)×R²
    abs(0.31647941-0.31643147)×1.917655428052e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.917655428052e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.917655428052e-05×40589641000000     		ar = 18657.3440574396m²