Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72137 / 94758
↖ ↑ ↗
← S 62.316451°
E 18.130188°		 ← 141.90 m → S 62.316451°
E 18.132934°		 →
↑
141.88 m
↓
↑
141.88 m
↓
S 62.317727°
E 18.130188°		 ← 141.89 m →
20 132 m²		 S 62.317727°
E 18.132934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550365447998047 y=0.722949981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550365447998047 × 217)
    floor (0.550365447998047 × 131072)
    floor (72137.5)     		tx = 72137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722949981689453 × 217)
    floor (0.722949981689453 × 131072)
    floor (94758.5)     		ty = 94758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72137 / 94758 ti = "17/72137/94758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72137/94758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72137 ÷ 217
    72137 ÷ 131072     		x = 0.550361633300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94758 ÷ 217
    94758 ÷ 131072     		y = 0.722946166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550361633300781 × 2 - 1) × π
    0.100723266601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.31643147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722946166992188 × 2 - 1) × π
    -0.445892333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40081208069728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31643147} λ = 0.31643147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40081208069728))-π/2
    2×atan(0.246396788597449)-π/2
    2×0.241584540772774-π/2
    0.483169081545548-1.57079632675     		φ = -1.08762725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31643147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.130188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08762725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.316451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72137 KachelY 94758 0.31643147 -1.08762725 18.130188 -62.316451
    Oben rechts KachelX + 1 72138 KachelY 94758 0.31647941 -1.08762725 18.132934 -62.316451
    Unten links KachelX 72137 KachelY + 1 94759 0.31643147 -1.08764952 18.130188 -62.317727
    Unten rechts KachelX + 1 72138 KachelY + 1 94759 0.31647941 -1.08764952 18.132934 -62.317727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08762725--1.08764952) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dl = 141.882170000649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08762725--1.08764952) × R
    2.22700000001019e-05 × 6371000     		dr = 141.882170000649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31643147-0.31647941) × cos(-1.08762725) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.464587807030154 × 6371000     		do = 141.897074757233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31643147-0.31647941) × cos(-1.08764952) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.464568086227378 × 6371000     		du = 141.891051516452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08762725)-sin(-1.08764952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464587807030154-0.464568086227378)×R²
    abs(0.31647941-0.31643147)×1.97208027757356e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.97208027757356e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.97208027757356e-05×40589641000000     		ar = 20132.237588941m²