Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72136 / 94757
↖ ↑ ↗
← S 62.315175°
E 18.127442°		 ← 141.87 m → S 62.315175°
E 18.130188°		 →
↑
141.95 m
↓
↑
141.95 m
↓
S 62.316451°
E 18.127442°		 ← 141.87 m →
20 138 m²		 S 62.316451°
E 18.130188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550357818603516 y=0.722942352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550357818603516 × 217)
    floor (0.550357818603516 × 131072)
    floor (72136.5)     		tx = 72136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722942352294922 × 217)
    floor (0.722942352294922 × 131072)
    floor (94757.5)     		ty = 94757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72136 / 94757 ti = "17/72136/94757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72136/94757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72136 ÷ 217
    72136 ÷ 131072     		x = 0.55035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94757 ÷ 217
    94757 ÷ 131072     		y = 0.722938537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55035400390625 × 2 - 1) × π
    0.1007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31638354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722938537597656 × 2 - 1) × π
    -0.445877075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.40076414379766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31638354} λ = 0.31638354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40076414379766))-π/2
    2×atan(0.246408600378678)-π/2
    2×0.241595676458759-π/2
    0.483191352917518-1.57079632675     		φ = -1.08760497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31638354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.127442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08760497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.315175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72136 KachelY 94757 0.31638354 -1.08760497 18.127442 -62.315175
    Oben rechts KachelX + 1 72137 KachelY 94757 0.31643147 -1.08760497 18.130188 -62.315175
    Unten links KachelX 72136 KachelY + 1 94758 0.31638354 -1.08762725 18.127442 -62.316451
    Unten rechts KachelX + 1 72137 KachelY + 1 94758 0.31643147 -1.08762725 18.130188 -62.316451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08760497--1.08762725) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dl = 141.945880000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08760497--1.08762725) × R
    2.22800000000412e-05 × 6371000     		dr = 141.945880000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31638354-0.31643147) × cos(-1.08760497) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.464607536457683 × 6371000     		do = 141.87350048594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31638354-0.31643147) × cos(-1.08762725) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.464587807030154 × 6371000     		du = 141.867475867898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08760497)-sin(-1.08762725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464607536457683-0.464587807030154)×R²
    abs(0.31643147-0.31638354)×1.97294275290916e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.97294275290916e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.97294275290916e-05×40589641000000     		ar = 20137.931290983m²