Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7213 / 5550
↖ ↑ ↗
← N 50.092393°
W 21.511231°		 ← 1 567.49 m → N 50.092393°
W 21.489258°		 →
↑
1 567.71 m
↓
↑
1 567.71 m
↓
N 50.078294°
W 21.511231°		 ← 1 567.95 m →
2 457 733 m²		 N 50.078294°
W 21.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440277099609375 y=0.338775634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440277099609375 × 214)
    floor (0.440277099609375 × 16384)
    floor (7213.5)     		tx = 7213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338775634765625 × 214)
    floor (0.338775634765625 × 16384)
    floor (5550.5)     		ty = 5550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7213 / 5550 ti = "14/7213/5550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7213/5550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7213 ÷ 214
    7213 ÷ 16384     		x = 0.44024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5550 ÷ 214
    5550 ÷ 16384     		y = 0.3387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.1195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37544180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3387451171875 × 2 - 1) × π
    0.322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01319431036951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37544180} λ = -0.37544180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01319431036951))-π/2
    2×atan(2.75438533926941)-π/2
    2×1.22253675925543-π/2
    2.44507351851085-1.57079632675     		φ = 0.87427719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37544180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87427719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.092393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7213 KachelY 5550 -0.37544180 0.87427719 -21.511231 50.092393
    Oben rechts KachelX + 1 7214 KachelY 5550 -0.37505830 0.87427719 -21.489258 50.092393
    Unten links KachelX 7213 KachelY + 1 5551 -0.37544180 0.87403112 -21.511231 50.078294
    Unten rechts KachelX + 1 7214 KachelY + 1 5551 -0.37505830 0.87403112 -21.489258 50.078294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87427719-0.87403112) × R
    0.000246069999999987 × 6371000     		dl = 1567.71196999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87427719-0.87403112) × R
    0.000246069999999987 × 6371000     		dr = 1567.71196999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37544180--0.37505830) × cos(0.87427719) × R
    0.000383499999999981 × 0.641551478788094 × 6371000     		do = 1567.48893476608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37544180--0.37505830) × cos(0.87403112) × R
    0.000383499999999981 × 0.641740214734451 × 6371000     		du = 1567.95006924599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87427719)-sin(0.87403112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641551478788094-0.641740214734451)×R²
    abs(-0.37505830--0.37544180)×0.000188735946357488×R²
    0.000383499999999981×0.000188735946357488×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188735946357488×40589641000000     		ar = 2457732.64129805m²