Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7213 / 5285
↖ ↑ ↗
← N 76.421713°
W100.755615°		 ← 286.81 m → N 76.421713°
W100.744629°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 76.419133°
W100.755615°		 ← 286.86 m →
82 271 m²		 N 76.419133°
W100.744629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220138549804688 y=0.161300659179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220138549804688 × 215)
    floor (0.220138549804688 × 32768)
    floor (7213.5)     		tx = 7213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161300659179688 × 215)
    floor (0.161300659179688 × 32768)
    floor (5285.5)     		ty = 5285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7213 / 5285 ti = "15/7213/5285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7213/5285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7213 ÷ 215
    7213 ÷ 32768     		x = 0.220123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5285 ÷ 215
    5285 ÷ 32768     		y = 0.161285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.220123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.55975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.75851723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161285400390625 × 2 - 1) × π
    0.67742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12820659553201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75851723} λ = -1.75851723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12820659553201))-π/2
    2×atan(8.39978907598326)-π/2
    2×1.45230342005097-π/2
    2.90460684010194-1.57079632675     		φ = 1.33381051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75851723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.755615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33381051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.421713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7213 KachelY 5285 -1.75851723 1.33381051 -100.755615 76.421713
    Oben rechts KachelX + 1 7214 KachelY 5285 -1.75832548 1.33381051 -100.744629 76.421713
    Unten links KachelX 7213 KachelY + 1 5286 -1.75851723 1.33376549 -100.755615 76.419133
    Unten rechts KachelX + 1 7214 KachelY + 1 5286 -1.75832548 1.33376549 -100.744629 76.419133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33381051-1.33376549) × R
    4.50199999999512e-05 × 6371000     		dl = 286.822419999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33381051-1.33376549) × R
    4.50199999999512e-05 × 6371000     		dr = 286.822419999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75851723--1.75832548) × cos(1.33381051) × R
    0.000191749999999935 × 0.234773760451099 × 6371000     		do = 286.808840637063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75851723--1.75832548) × cos(1.33376549) × R
    0.000191749999999935 × 0.234817521905991 × 6371000     		du = 286.862301347997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33381051)-sin(1.33376549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234773760451099-0.234817521905991)×R²
    abs(-1.75832548--1.75851723)×4.37614548925991e-05×R²
    0.000191749999999935×4.37614548925991e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.37614548925991e-05×40589641000000     		ar = 82270.8726277454m²