Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7213 / 4853
↖ ↑ ↗
← N 58.938673°
W 21.511231°		 ← 1 260.62 m → N 58.938673°
W 21.489258°		 →
↑
1 260.76 m
↓
↑
1 260.76 m
↓
N 58.927335°
W 21.511231°		 ← 1 261.04 m →
1 589 600 m²		 N 58.927335°
W 21.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440277099609375 y=0.296234130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440277099609375 × 214)
    floor (0.440277099609375 × 16384)
    floor (7213.5)     		tx = 7213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296234130859375 × 214)
    floor (0.296234130859375 × 16384)
    floor (4853.5)     		ty = 4853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7213 / 4853 ti = "14/7213/4853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7213/4853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7213 ÷ 214
    7213 ÷ 16384     		x = 0.44024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4853 ÷ 214
    4853 ÷ 16384     		y = 0.29620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.1195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37544180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29620361328125 × 2 - 1) × π
    0.4075927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28049046265094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37544180} λ = -0.37544180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28049046265094))-π/2
    2×atan(3.59840417568663)-π/2
    2×1.29973511533131-π/2
    2.59947023066261-1.57079632675     		φ = 1.02867390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37544180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02867390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.938673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7213 KachelY 4853 -0.37544180 1.02867390 -21.511231 58.938673
    Oben rechts KachelX + 1 7214 KachelY 4853 -0.37505830 1.02867390 -21.489258 58.938673
    Unten links KachelX 7213 KachelY + 1 4854 -0.37544180 1.02847601 -21.511231 58.927335
    Unten rechts KachelX + 1 7214 KachelY + 1 4854 -0.37505830 1.02847601 -21.489258 58.927335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02867390-1.02847601) × R
    0.000197889999999923 × 6371000     		dl = 1260.75718999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02867390-1.02847601) × R
    0.000197889999999923 × 6371000     		dr = 1260.75718999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37544180--0.37505830) × cos(1.02867390) × R
    0.000383499999999981 × 0.515955256161304 × 6371000     		do = 1260.62238434084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37544180--0.37505830) × cos(1.02847601) × R
    0.000383499999999981 × 0.516124761705763 × 6371000     		du = 1261.03653359325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02867390)-sin(1.02847601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515955256161304-0.516124761705763)×R²
    abs(-0.37505830--0.37544180)×0.000169505544459714×R²
    0.000383499999999981×0.000169505544459714×6371000²
    0.000383499999999981×0.000169505544459714×40589641000000     		ar = 1589599.8109436m²