Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72127 / 78615
↖ ↑ ↗
← S 33.776864°
E 18.102722°		 ← 253.82 m → S 33.776864°
E 18.105469°		 →
↑
253.88 m
↓
↑
253.88 m
↓
S 33.779147°
E 18.102722°		 ← 253.81 m →
64 440 m²		 S 33.779147°
E 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550289154052734 y=0.599788665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550289154052734 × 217)
    floor (0.550289154052734 × 131072)
    floor (72127.5)     		tx = 72127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599788665771484 × 217)
    floor (0.599788665771484 × 131072)
    floor (78615.5)     		ty = 78615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72127 / 78615 ti = "17/72127/78615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72127/78615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72127 ÷ 217
    72127 ÷ 131072     		x = 0.550285339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78615 ÷ 217
    78615 ÷ 131072     		y = 0.599784851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550285339355469 × 2 - 1) × π
    0.100570678710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.31595211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599784851074219 × 2 - 1) × π
    -0.199569702148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.626966710130714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31595211} λ = 0.31595211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626966710130714))-π/2
    2×atan(0.534209758948524)-π/2
    2×0.49063941620772-π/2
    0.981278832415439-1.57079632675     		φ = -0.58951749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31595211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.102722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58951749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.776864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72127 KachelY 78615 0.31595211 -0.58951749 18.102722 -33.776864
    Oben rechts KachelX + 1 72128 KachelY 78615 0.31600004 -0.58951749 18.105469 -33.776864
    Unten links KachelX 72127 KachelY + 1 78616 0.31595211 -0.58955734 18.102722 -33.779147
    Unten rechts KachelX + 1 72128 KachelY + 1 78616 0.31600004 -0.58955734 18.105469 -33.779147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58951749--0.58955734) × R
    3.98500000000634e-05 × 6371000     		dl = 253.884350000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58951749--0.58955734) × R
    3.98500000000634e-05 × 6371000     		dr = 253.884350000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31595211-0.31600004) × cos(-0.58951749) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.831209032118813 × 6371000     		do = 253.819677401997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31595211-0.31600004) × cos(-0.58955734) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.831186876451994 × 6371000     		du = 253.812911902601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58951749)-sin(-0.58955734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831209032118813-0.831186876451994)×R²
    abs(0.31600004-0.31595211)×2.21556668194012e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21556668194012e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21556668194012e-05×40589641000000     		ar = 64439.984995823m²