Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72123 / 78619
↖ ↑ ↗
← S 33.785996°
E 18.091736°		 ← 253.79 m → S 33.785996°
E 18.094482°		 →
↑
253.82 m
↓
↑
253.82 m
↓
S 33.788279°
E 18.091736°		 ← 253.79 m →
64 417 m²		 S 33.788279°
E 18.094482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550258636474609 y=0.599819183349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550258636474609 × 217)
    floor (0.550258636474609 × 131072)
    floor (72123.5)     		tx = 72123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599819183349609 × 217)
    floor (0.599819183349609 × 131072)
    floor (78619.5)     		ty = 78619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72123 / 78619 ti = "17/72123/78619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72123/78619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72123 ÷ 217
    72123 ÷ 131072     		x = 0.550254821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78619 ÷ 217
    78619 ÷ 131072     		y = 0.599815368652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550254821777344 × 2 - 1) × π
    0.100509643554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.31576036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599815368652344 × 2 - 1) × π
    -0.199630737304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.627158457729195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31576036} λ = 0.31576036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627158457729195))-π/2
    2×atan(0.534107335330216)-π/2
    2×0.490559729287966-π/2
    0.981119458575932-1.57079632675     		φ = -0.58967687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31576036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.091736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58967687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.785996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72123 KachelY 78619 0.31576036 -0.58967687 18.091736 -33.785996
    Oben rechts KachelX + 1 72124 KachelY 78619 0.31580829 -0.58967687 18.094482 -33.785996
    Unten links KachelX 72123 KachelY + 1 78620 0.31576036 -0.58971671 18.091736 -33.788279
    Unten rechts KachelX + 1 72124 KachelY + 1 78620 0.31580829 -0.58971671 18.094482 -33.788279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58967687--0.58971671) × R
    3.98400000000132e-05 × 6371000     		dl = 253.820640000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58967687--0.58971671) × R
    3.98400000000132e-05 × 6371000     		dr = 253.820640000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31576036-0.31580829) × cos(-0.58967687) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.831120412653866 × 6371000     		do = 253.792616382284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31576036-0.31580829) × cos(-0.58971671) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.831098257269402 × 6371000     		du = 253.785850969108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58967687)-sin(-0.58971671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831120412653866-0.831098257269402)×R²
    abs(0.31580829-0.31576036)×2.21553844637068e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21553844637068e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21553844637068e-05×40589641000000     		ar = 64416.9457251431m²