Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72111 / 95733
↖ ↑ ↗
← S 63.535091°
E 18.058777°		 ← 136.08 m → S 63.535091°
E 18.061523°		 →
↑
136.15 m
↓
↑
136.15 m
↓
S 63.536315°
E 18.058777°		 ← 136.08 m →
18 527 m²		 S 63.536315°
E 18.061523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550167083740234 y=0.730388641357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550167083740234 × 217)
    floor (0.550167083740234 × 131072)
    floor (72111.5)     		tx = 72111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730388641357422 × 217)
    floor (0.730388641357422 × 131072)
    floor (95733.5)     		ty = 95733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72111 / 95733 ti = "17/72111/95733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72111/95733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72111 ÷ 217
    72111 ÷ 131072     		x = 0.550163269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95733 ÷ 217
    95733 ÷ 131072     		y = 0.730384826660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550163269042969 × 2 - 1) × π
    0.100326538085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.31518512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730384826660156 × 2 - 1) × π
    -0.460769653320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.44755055782684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31518512} λ = 0.31518512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44755055782684))-π/2
    2×atan(0.235145558708454)-π/2
    2×0.230949896851516-π/2
    0.461899793703032-1.57079632675     		φ = -1.10889653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31518512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.058777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10889653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.535091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72111 KachelY 95733 0.31518512 -1.10889653 18.058777 -63.535091
    Oben rechts KachelX + 1 72112 KachelY 95733 0.31523305 -1.10889653 18.061523 -63.535091
    Unten links KachelX 72111 KachelY + 1 95734 0.31518512 -1.10891790 18.058777 -63.536315
    Unten rechts KachelX + 1 72112 KachelY + 1 95734 0.31523305 -1.10891790 18.061523 -63.536315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10889653--1.10891790) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dl = 136.148270000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10889653--1.10891790) × R
    2.13700000000205e-05 × 6371000     		dr = 136.148270000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31518512-0.31523305) × cos(-1.10889653) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445649622449672 × 6371000     		do = 136.084473380049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31518512-0.31523305) × cos(-1.10891790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.445630491764284 × 6371000     		du = 136.078631595123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10889653)-sin(-1.10891790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445649622449672-0.445630491764284)×R²
    abs(0.31523305-0.31518512)×1.91306853874473e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.91306853874473e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.91306853874473e-05×40589641000000     		ar = 18527.2679507933m²