Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72111 / 78655
↖ ↑ ↗
← S 33.868135°
E 18.058777°		 ← 253.55 m → S 33.868135°
E 18.061523°		 →
↑
253.57 m
↓
↑
253.57 m
↓
S 33.870416°
E 18.058777°		 ← 253.54 m →
64 290 m²		 S 33.870416°
E 18.061523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550167083740234 y=0.600093841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550167083740234 × 217)
    floor (0.550167083740234 × 131072)
    floor (72111.5)     		tx = 72111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600093841552734 × 217)
    floor (0.600093841552734 × 131072)
    floor (78655.5)     		ty = 78655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72111 / 78655 ti = "17/72111/78655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72111/78655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72111 ÷ 217
    72111 ÷ 131072     		x = 0.550163269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78655 ÷ 217
    78655 ÷ 131072     		y = 0.600090026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550163269042969 × 2 - 1) × π
    0.100326538085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.31518512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600090026855469 × 2 - 1) × π
    -0.200180053710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.628884186115517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31518512} λ = 0.31518512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628884186115517))-π/2
    2×atan(0.533186406005787)-π/2
    2×0.48984292948724-π/2
    0.979685858974481-1.57079632675     		φ = -0.59111047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31518512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.058777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59111047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.868135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72111 KachelY 78655 0.31518512 -0.59111047 18.058777 -33.868135
    Oben rechts KachelX + 1 72112 KachelY 78655 0.31523305 -0.59111047 18.061523 -33.868135
    Unten links KachelX 72111 KachelY + 1 78656 0.31518512 -0.59115027 18.058777 -33.870416
    Unten rechts KachelX + 1 72112 KachelY + 1 78656 0.31523305 -0.59115027 18.061523 -33.870416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59111047--0.59115027) × R
    3.97999999999232e-05 × 6371000     		dl = 253.565799999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59111047--0.59115027) × R
    3.97999999999232e-05 × 6371000     		dr = 253.565799999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31518512-0.31523305) × cos(-0.59111047) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.830322344667481 × 6371000     		do = 253.548916722177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31518512-0.31523305) × cos(-0.59115027) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.830300164129962 × 6371000     		du = 253.542143628214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59111047)-sin(-0.59115027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830322344667481-0.830300164129962)×R²
    abs(0.31523305-0.31518512)×2.21805375184569e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21805375184569e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21805375184569e-05×40589641000000     		ar = 64290.4752035992m²