Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7211 / 4796
↖ ↑ ↗
← N 59.578851°
W 21.555176°		 ← 1 237.16 m → N 59.578851°
W 21.533203°		 →
↑
1 237.38 m
↓
↑
1 237.38 m
↓
N 59.567723°
W 21.555176°		 ← 1 237.57 m →
1 531 084 m²		 N 59.567723°
W 21.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440155029296875 y=0.292755126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440155029296875 × 214)
    floor (0.440155029296875 × 16384)
    floor (7211.5)     		tx = 7211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292755126953125 × 214)
    floor (0.292755126953125 × 16384)
    floor (4796.5)     		ty = 4796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7211 / 4796 ti = "14/7211/4796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7211/4796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7211 ÷ 214
    7211 ÷ 16384     		x = 0.44012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4796 ÷ 214
    4796 ÷ 16384     		y = 0.292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.1197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37620879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292724609375 × 2 - 1) × π
    0.41455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30234968887769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37620879} λ = -0.37620879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30234968887769))-π/2
    2×atan(3.67792851028904)-π/2
    2×1.30532172104752-π/2
    2.61064344209504-1.57079632675     		φ = 1.03984712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37620879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.555176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03984712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.578851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7211 KachelY 4796 -0.37620879 1.03984712 -21.555176 59.578851
    Oben rechts KachelX + 1 7212 KachelY 4796 -0.37582529 1.03984712 -21.533203 59.578851
    Unten links KachelX 7211 KachelY + 1 4797 -0.37620879 1.03965290 -21.555176 59.567723
    Unten rechts KachelX + 1 7212 KachelY + 1 4797 -0.37582529 1.03965290 -21.533203 59.567723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03984712-1.03965290) × R
    0.000194219999999801 × 6371000     		dl = 1237.37561999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03984712-1.03965290) × R
    0.000194219999999801 × 6371000     		dr = 1237.37561999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37620879--0.37582529) × cos(1.03984712) × R
    0.000383500000000037 × 0.506352095674761 × 6371000     		do = 1237.15918879221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37620879--0.37582529) × cos(1.03965290) × R
    0.000383500000000037 × 0.506519567239738 × 6371000     		du = 1237.56836846627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03984712)-sin(1.03965290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506352095674761-0.506519567239738)×R²
    abs(-0.37582529--0.37620879)×0.000167471564976762×R²
    0.000383500000000037×0.000167471564976762×6371000²
    0.000383500000000037×0.000167471564976762×40589641000000     		ar = 1531083.77755691m²