Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7211 / 4786
↖ ↑ ↗
← N 59.689926°
W 21.555176°		 ← 1 233.07 m → N 59.689926°
W 21.533203°		 →
↑
1 233.23 m
↓
↑
1 233.23 m
↓
N 59.678835°
W 21.555176°		 ← 1 233.48 m →
1 520 919 m²		 N 59.678835°
W 21.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440155029296875 y=0.292144775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440155029296875 × 214)
    floor (0.440155029296875 × 16384)
    floor (7211.5)     		tx = 7211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292144775390625 × 214)
    floor (0.292144775390625 × 16384)
    floor (4786.5)     		ty = 4786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7211 / 4786 ti = "14/7211/4786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7211/4786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7211 ÷ 214
    7211 ÷ 16384     		x = 0.44012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4786 ÷ 214
    4786 ÷ 16384     		y = 0.2921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.1197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37620879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2921142578125 × 2 - 1) × π
    0.415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30618464084729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37620879} λ = -0.37620879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30618464084729))-π/2
    2×atan(3.692060269463)-π/2
    2×1.30629103479503-π/2
    2.61258206959005-1.57079632675     		φ = 1.04178574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37620879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.555176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04178574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.689926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7211 KachelY 4786 -0.37620879 1.04178574 -21.555176 59.689926
    Oben rechts KachelX + 1 7212 KachelY 4786 -0.37582529 1.04178574 -21.533203 59.689926
    Unten links KachelX 7211 KachelY + 1 4787 -0.37620879 1.04159217 -21.555176 59.678835
    Unten rechts KachelX + 1 7212 KachelY + 1 4787 -0.37582529 1.04159217 -21.533203 59.678835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04178574-1.04159217) × R
    0.000193569999999976 × 6371000     		dl = 1233.23446999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04178574-1.04159217) × R
    0.000193569999999976 × 6371000     		dr = 1233.23446999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37620879--0.37582529) × cos(1.04178574) × R
    0.000383500000000037 × 0.504679421192103 × 6371000     		do = 1233.07237919123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37620879--0.37582529) × cos(1.04159217) × R
    0.000383500000000037 × 0.504846522039038 × 6371000     		du = 1233.48065309787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04178574)-sin(1.04159217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504679421192103-0.504846522039038)×R²
    abs(-0.37582529--0.37620879)×0.000167100846934942×R²
    0.000383500000000037×0.000167100846934942×6371000²
    0.000383500000000037×0.000167100846934942×40589641000000     		ar = 1520919.11549964m²