Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72109 / 95732
↖ ↑ ↗
← S 63.533867°
E 18.053284°		 ← 136.12 m → S 63.533867°
E 18.056030°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
S 63.535091°
E 18.053284°		 ← 136.11 m →
18 523 m²		 S 63.535091°
E 18.056030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550151824951172 y=0.730381011962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550151824951172 × 217)
    floor (0.550151824951172 × 131072)
    floor (72109.5)     		tx = 72109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730381011962891 × 217)
    floor (0.730381011962891 × 131072)
    floor (95732.5)     		ty = 95732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72109 / 95732 ti = "17/72109/95732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72109/95732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72109 ÷ 217
    72109 ÷ 131072     		x = 0.550148010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95732 ÷ 217
    95732 ÷ 131072     		y = 0.730377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550148010253906 × 2 - 1) × π
    0.100296020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.31508924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.730377197265625 × 2 - 1) × π
    -0.46075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.44750262092722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31508924} λ = 0.31508924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44750262092722))-π/2
    2×atan(0.235156831127678)-π/2
    2×0.230960578611251-π/2
    0.461921157222502-1.57079632675     		φ = -1.10887517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31508924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.053284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10887517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.533867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72109 KachelY 95732 0.31508924 -1.10887517 18.053284 -63.533867
    Oben rechts KachelX + 1 72110 KachelY 95732 0.31513718 -1.10887517 18.056030 -63.533867
    Unten links KachelX 72109 KachelY + 1 95733 0.31508924 -1.10889653 18.053284 -63.535091
    Unten rechts KachelX + 1 72110 KachelY + 1 95733 0.31513718 -1.10889653 18.056030 -63.535091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10887517--1.10889653) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dl = 136.084560000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10887517--1.10889653) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dr = 136.084560000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31508924-0.31513718) × cos(-1.10887517) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445668743979562 × 6371000     		do = 136.118705924897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31508924-0.31513718) × cos(-1.10889653) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.445649622449672 × 6371000     		du = 136.11286571748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10887517)-sin(-1.10889653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445668743979562-0.445649622449672)×R²
    abs(0.31513718-0.31508924)×1.91215298900871e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91215298900871e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91215298900871e-05×40589641000000     		ar = 18523.2568231888m²