Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72102 / 78642
↖ ↑ ↗
← S 33.838483°
E 18.034057°		 ← 253.69 m → S 33.838483°
E 18.036804°		 →
↑
253.63 m
↓
↑
253.63 m
↓
S 33.840764°
E 18.034057°		 ← 253.68 m →
64 342 m²		 S 33.840764°
E 18.036804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550098419189453 y=0.599994659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550098419189453 × 217)
    floor (0.550098419189453 × 131072)
    floor (72102.5)     		tx = 72102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599994659423828 × 217)
    floor (0.599994659423828 × 131072)
    floor (78642.5)     		ty = 78642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72102 / 78642 ti = "17/72102/78642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72102/78642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72102 ÷ 217
    72102 ÷ 131072     		x = 0.550094604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78642 ÷ 217
    78642 ÷ 131072     		y = 0.599990844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550094604492188 × 2 - 1) × π
    0.100189208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31475368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599990844726562 × 2 - 1) × π
    -0.199981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.628261006420456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31475368} λ = 0.31475368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628261006420456))-π/2
    2×atan(0.533518780501454)-π/2
    2×0.490101694419186-π/2
    0.980203388838372-1.57079632675     		φ = -0.59059294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31475368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.034057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59059294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.838483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72102 KachelY 78642 0.31475368 -0.59059294 18.034057 -33.838483
    Oben rechts KachelX + 1 72103 KachelY 78642 0.31480162 -0.59059294 18.036804 -33.838483
    Unten links KachelX 72102 KachelY + 1 78643 0.31475368 -0.59063275 18.034057 -33.840764
    Unten rechts KachelX + 1 72103 KachelY + 1 78643 0.31480162 -0.59063275 18.036804 -33.840764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59059294--0.59063275) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dl = 253.629510000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59059294--0.59063275) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dr = 253.629510000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31475368-0.31480162) × cos(-0.59059294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830610644344406 × 6371000     		do = 253.689870700894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31475368-0.31480162) × cos(-0.59063275) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830588475343487 × 6371000     		du = 253.683099717384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59059294)-sin(-0.59063275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830610644344406-0.830588475343487)×R²
    abs(0.31480162-0.31475368)×2.21690009186704e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21690009186704e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21690009186704e-05×40589641000000     		ar = 64342.37894593m²