Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72100 / 78644
↖ ↑ ↗
← S 33.843045°
E 18.028565°		 ← 253.68 m → S 33.843045°
E 18.031311°		 →
↑
253.63 m
↓
↑
253.63 m
↓
S 33.845326°
E 18.028565°		 ← 253.67 m →
64 339 m²		 S 33.845326°
E 18.031311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550083160400391 y=0.600009918212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550083160400391 × 217)
    floor (0.550083160400391 × 131072)
    floor (72100.5)     		tx = 72100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600009918212891 × 217)
    floor (0.600009918212891 × 131072)
    floor (78644.5)     		ty = 78644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72100 / 78644 ti = "17/72100/78644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72100/78644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72100 ÷ 217
    72100 ÷ 131072     		x = 0.550079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78644 ÷ 217
    78644 ÷ 131072     		y = 0.600006103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550079345703125 × 2 - 1) × π
    0.10015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31465781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600006103515625 × 2 - 1) × π
    -0.20001220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.628356880219696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31465781} λ = 0.31465781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.628356880219696))-π/2
    2×atan(0.533467632480918)-π/2
    2×0.490061878582939-π/2
    0.980123757165878-1.57079632675     		φ = -0.59067257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31465781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.028565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59067257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.843045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72100 KachelY 78644 0.31465781 -0.59067257 18.028565 -33.843045
    Oben rechts KachelX + 1 72101 KachelY 78644 0.31470575 -0.59067257 18.031311 -33.843045
    Unten links KachelX 72100 KachelY + 1 78645 0.31465781 -0.59071238 18.028565 -33.845326
    Unten rechts KachelX + 1 72101 KachelY + 1 78645 0.31470575 -0.59071238 18.031311 -33.845326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59067257--0.59071238) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dl = 253.629510000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59067257--0.59071238) × R
    3.98100000000845e-05 × 6371000     		dr = 253.629510000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31465781-0.31470575) × cos(-0.59067257) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830566299457025 × 6371000     		do = 253.676326630851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31465781-0.31470575) × cos(-0.59071238) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.830544127823117 × 6371000     		du = 253.669554843158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59067257)-sin(-0.59071238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830566299457025-0.830544127823117)×R²
    abs(0.31470575-0.31465781)×2.21716339072753e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21716339072753e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21716339072753e-05×40589641000000     		ar = 64338.9436679073m²