Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7210 / 7174
↖ ↑ ↗
← N 70.590721°
W100.788574°		 ← 405.97 m → N 70.590721°
W100.777588°		 →
↑
406.02 m
↓
↑
406.02 m
↓
N 70.587069°
W100.788574°		 ← 406.04 m →
164 847 m²		 N 70.587069°
W100.777588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.220046997070312 y=0.218948364257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.220046997070312 × 215)
    floor (0.220046997070312 × 32768)
    floor (7210.5)     		tx = 7210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218948364257812 × 215)
    floor (0.218948364257812 × 32768)
    floor (7174.5)     		ty = 7174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7210 / 7174 ti = "15/7210/7174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7210/7174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7210 ÷ 215
    7210 ÷ 32768     		x = 0.22003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7174 ÷ 215
    7174 ÷ 32768     		y = 0.21893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.5599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.75909247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21893310546875 × 2 - 1) × π
    0.5621337890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76599538200287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75909247} λ = -1.75909247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76599538200287))-π/2
    2×atan(5.8473898489122)-π/2
    2×1.40141841184853-π/2
    2.80283682369706-1.57079632675     		φ = 1.23204050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75909247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23204050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.590721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7210 KachelY 7174 -1.75909247 1.23204050 -100.788574 70.590721
    Oben rechts KachelX + 1 7211 KachelY 7174 -1.75890072 1.23204050 -100.777588 70.590721
    Unten links KachelX 7210 KachelY + 1 7175 -1.75909247 1.23197677 -100.788574 70.587069
    Unten rechts KachelX + 1 7211 KachelY + 1 7175 -1.75890072 1.23197677 -100.777588 70.587069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23204050-1.23197677) × R
    6.37300000001506e-05 × 6371000     		dl = 406.02383000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23204050-1.23197677) × R
    6.37300000001506e-05 × 6371000     		dr = 406.02383000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75909247--1.75890072) × cos(1.23204050) × R
    0.000191749999999935 × 0.332313884236125 × 6371000     		do = 405.967684302669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75909247--1.75890072) × cos(1.23197677) × R
    0.000191749999999935 × 0.332373991712139 × 6371000     		du = 406.041113954586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23204050)-sin(1.23197677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332313884236125-0.332373991712139)×R²
    abs(-1.75890072--1.75909247)×6.01074760137599e-05×R²
    0.000191749999999935×6.01074760137599e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.01074760137599e-05×40589641000000     		ar = 164847.461188056m²