Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7210 / 4787
↖ ↑ ↗
← N 59.678835°
W 21.577148°		 ← 1 233.45 m → N 59.678835°
W 21.555176°		 →
↑
1 233.68 m
↓
↑
1 233.68 m
↓
N 59.667741°
W 21.577148°		 ← 1 233.86 m →
1 521 933 m²		 N 59.667741°
W 21.555176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440093994140625 y=0.292205810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440093994140625 × 214)
    floor (0.440093994140625 × 16384)
    floor (7210.5)     		tx = 7210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292205810546875 × 214)
    floor (0.292205810546875 × 16384)
    floor (4787.5)     		ty = 4787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7210 / 4787 ti = "14/7210/4787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7210/4787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7210 ÷ 214
    7210 ÷ 16384     		x = 0.4400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4787 ÷ 214
    4787 ÷ 16384     		y = 0.29217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4400634765625 × 2 - 1) × π
    -0.119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37659228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29217529296875 × 2 - 1) × π
    0.4156494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30580114565033
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37659228} λ = -0.37659228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30580114565033))-π/2
    2×atan(3.69064465354108)-π/2
    2×1.30619424770812-π/2
    2.61238849541623-1.57079632675     		φ = 1.04159217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37659228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04159217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.678835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7210 KachelY 4787 -0.37659228 1.04159217 -21.577148 59.678835
    Oben rechts KachelX + 1 7211 KachelY 4787 -0.37620879 1.04159217 -21.555176 59.678835
    Unten links KachelX 7210 KachelY + 1 4788 -0.37659228 1.04139853 -21.577148 59.667741
    Unten rechts KachelX + 1 7211 KachelY + 1 4788 -0.37620879 1.04139853 -21.555176 59.667741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04159217-1.04139853) × R
    0.000193639999999995 × 6371000     		dl = 1233.68043999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04159217-1.04139853) × R
    0.000193639999999995 × 6371000     		dr = 1233.68043999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37659228--0.37620879) × cos(1.04159217) × R
    0.000383489999999986 × 0.504846522039038 × 6371000     		do = 1233.44848932579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37659228--0.37620879) × cos(1.04139853) × R
    0.000383489999999986 × 0.5050136643875 × 6371000     		du = 1233.85685398359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04159217)-sin(1.04139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504846522039038-0.5050136643875)×R²
    abs(-0.37620879--0.37659228)×0.000167142348462268×R²
    0.000383489999999986×0.000167142348462268×6371000²
    0.000383489999999986×0.000167142348462268×40589641000000     		ar = 1521933.17552945m²