Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72091 / 75595
↖ ↑ ↗
← S 26.615541°
E 18.003845°		 ← 273 m → S 26.615541°
E 18.006592°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
S 26.617997°
E 18.003845°		 ← 273 m →
74 528 m²		 S 26.617997°
E 18.006592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.550014495849609 y=0.576747894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.550014495849609 × 217)
    floor (0.550014495849609 × 131072)
    floor (72091.5)     		tx = 72091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576747894287109 × 217)
    floor (0.576747894287109 × 131072)
    floor (75595.5)     		ty = 75595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72091 / 75595 ti = "17/72091/75595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72091/75595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72091 ÷ 217
    72091 ÷ 131072     		x = 0.550010681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75595 ÷ 217
    75595 ÷ 131072     		y = 0.576744079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.550010681152344 × 2 - 1) × π
    0.100021362304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.31422638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576744079589844 × 2 - 1) × π
    -0.153488159179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.482197273278145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31422638} λ = 0.31422638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482197273278145))-π/2
    2×atan(0.617425248247068)-π/2
    2×0.553133750209639-π/2
    1.10626750041928-1.57079632675     		φ = -0.46452883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31422638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.003845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46452883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.615541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72091 KachelY 75595 0.31422638 -0.46452883 18.003845 -26.615541
    Oben rechts KachelX + 1 72092 KachelY 75595 0.31427431 -0.46452883 18.006592 -26.615541
    Unten links KachelX 72091 KachelY + 1 75596 0.31422638 -0.46457168 18.003845 -26.617997
    Unten rechts KachelX + 1 72092 KachelY + 1 75596 0.31427431 -0.46457168 18.006592 -26.617997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46452883--0.46457168) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dl = 272.997349999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46452883--0.46457168) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dr = 272.997349999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31422638-0.31427431) × cos(-0.46452883) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894032749755546 × 6371000     		do = 273.003655351686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31422638-0.31427431) × cos(-0.46457168) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.894013552065796 × 6371000     		du = 272.997793106173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46452883)-sin(-0.46457168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894032749755546-0.894013552065796)×R²
    abs(0.31427431-0.31422638)×1.91976897498947e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91976897498947e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91976897498947e-05×40589641000000     		ar = 74528.4742738808m²