Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72086 / 75490
↖ ↑ ↗
← S 26.357420°
E 17.990112°		 ← 273.67 m → S 26.357420°
E 17.992859°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
S 26.359881°
E 17.990112°		 ← 273.67 m →
74 903 m²		 S 26.359881°
E 17.992859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549976348876953 y=0.575946807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549976348876953 × 217)
    floor (0.549976348876953 × 131072)
    floor (72086.5)     		tx = 72086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575946807861328 × 217)
    floor (0.575946807861328 × 131072)
    floor (75490.5)     		ty = 75490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72086 / 75490 ti = "17/72086/75490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72086/75490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72086 ÷ 217
    72086 ÷ 131072     		x = 0.549972534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75490 ÷ 217
    75490 ÷ 131072     		y = 0.575942993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549972534179688 × 2 - 1) × π
    0.099945068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31398669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575942993164062 × 2 - 1) × π
    -0.151885986328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.477163898818039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31398669} λ = 0.31398669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477163898818039))-π/2
    2×atan(0.620540815052111)-π/2
    2×0.555386282141755-π/2
    1.11077256428351-1.57079632675     		φ = -0.46002376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31398669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.990112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46002376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.357420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72086 KachelY 75490 0.31398669 -0.46002376 17.990112 -26.357420
    Oben rechts KachelX + 1 72087 KachelY 75490 0.31403463 -0.46002376 17.992859 -26.357420
    Unten links KachelX 72086 KachelY + 1 75491 0.31398669 -0.46006672 17.990112 -26.359881
    Unten rechts KachelX + 1 72087 KachelY + 1 75491 0.31403463 -0.46006672 17.992859 -26.359881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46002376--0.46006672) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dl = 273.698159999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46002376--0.46006672) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dr = 273.698159999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31398669-0.31403463) × cos(-0.46002376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896041949065577 × 6371000     		do = 273.674275364217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31398669-0.31403463) × cos(-0.46006672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896022875313435 × 6371000     		du = 273.668449749354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46002376)-sin(-0.46006672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896041949065577-0.896022875313435)×R²
    abs(0.31403463-0.31398669)×1.90737521416073e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90737521416073e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90737521416073e-05×40589641000000     		ar = 74903.3483879861m²