Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72084 / 75491
↖ ↑ ↗
← S 26.359881°
E 17.984619°		 ← 273.67 m → S 26.359881°
E 17.987366°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
S 26.362342°
E 17.984619°		 ← 273.66 m →
74 884 m²		 S 26.362342°
E 17.987366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549961090087891 y=0.575954437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549961090087891 × 217)
    floor (0.549961090087891 × 131072)
    floor (72084.5)     		tx = 72084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575954437255859 × 217)
    floor (0.575954437255859 × 131072)
    floor (75491.5)     		ty = 75491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72084 / 75491 ti = "17/72084/75491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72084/75491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72084 ÷ 217
    72084 ÷ 131072     		x = 0.549957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75491 ÷ 217
    75491 ÷ 131072     		y = 0.575950622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549957275390625 × 2 - 1) × π
    0.09991455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31389082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575950622558594 × 2 - 1) × π
    -0.151901245117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.477211835717659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31389082} λ = 0.31389082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477211835717659))-π/2
    2×atan(0.620511068962323)-π/2
    2×0.555364805633842-π/2
    1.11072961126768-1.57079632675     		φ = -0.46006672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31389082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.984619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46006672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.359881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72084 KachelY 75491 0.31389082 -0.46006672 17.984619 -26.359881
    Oben rechts KachelX + 1 72085 KachelY 75491 0.31393876 -0.46006672 17.987366 -26.359881
    Unten links KachelX 72084 KachelY + 1 75492 0.31389082 -0.46010967 17.984619 -26.362342
    Unten rechts KachelX + 1 72085 KachelY + 1 75492 0.31393876 -0.46010967 17.987366 -26.362342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46006672--0.46010967) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dl = 273.634450000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46006672--0.46010967) × R
    4.29500000000416e-05 × 6371000     		dr = 273.634450000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31389082-0.31393876) × cos(-0.46006672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896022875313435 × 6371000     		do = 273.668449749354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31389082-0.31393876) × cos(-0.46010967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896003804348092 × 6371000     		du = 273.662624985652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46006672)-sin(-0.46010967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896022875313435-0.896003804348092)×R²
    abs(0.31393876-0.31389082)×1.90709653432597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90709653432597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90709653432597e-05×40589641000000     		ar = 74884.3188130879m²