Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72083 / 75493
↖ ↑ ↗
← S 26.364803°
E 17.981872°		 ← 273.66 m → S 26.364803°
E 17.984619°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
S 26.367264°
E 17.981872°		 ← 273.65 m →
74 881 m²		 S 26.367264°
E 17.984619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549953460693359 y=0.575969696044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549953460693359 × 217)
    floor (0.549953460693359 × 131072)
    floor (72083.5)     		tx = 72083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575969696044922 × 217)
    floor (0.575969696044922 × 131072)
    floor (75493.5)     		ty = 75493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72083 / 75493 ti = "17/72083/75493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72083/75493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72083 ÷ 217
    72083 ÷ 131072     		x = 0.549949645996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75493 ÷ 217
    75493 ÷ 131072     		y = 0.575965881347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549949645996094 × 2 - 1) × π
    0.0998992919921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31384288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575965881347656 × 2 - 1) × π
    -0.151931762695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.477307709516899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31384288} λ = 0.31384288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477307709516899))-π/2
    2×atan(0.620451581060382)-π/2
    2×0.555321853989373-π/2
    1.11064370797875-1.57079632675     		φ = -0.46015262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31384288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.981872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46015262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.364803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72083 KachelY 75493 0.31384288 -0.46015262 17.981872 -26.364803
    Oben rechts KachelX + 1 72084 KachelY 75493 0.31389082 -0.46015262 17.984619 -26.364803
    Unten links KachelX 72083 KachelY + 1 75494 0.31384288 -0.46019557 17.981872 -26.367264
    Unten rechts KachelX + 1 72084 KachelY + 1 75494 0.31389082 -0.46019557 17.984619 -26.367264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46015262--0.46019557) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46015262--0.46019557) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31384288-0.31389082) × cos(-0.46015262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.895984731729889 × 6371000     		do = 273.65679971744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31384288-0.31389082) × cos(-0.46019557) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.89596565745886 × 6371000     		du = 273.650973944096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46015262)-sin(-0.46019557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895984731729889-0.89596565745886)×R²
    abs(0.31389082-0.31384288)×1.90742710289848e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90742710289848e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90742710289848e-05×40589641000000     		ar = 74881.1308248629m²