Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72082 / 95573
↖ ↑ ↗
← S 63.338576°
E 17.979126°		 ← 137.05 m → S 63.338576°
E 17.981872°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
S 63.339808°
E 17.979126°		 ← 137.04 m →
18 781 m²		 S 63.339808°
E 17.981872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549945831298828 y=0.729167938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549945831298828 × 217)
    floor (0.549945831298828 × 131072)
    floor (72082.5)     		tx = 72082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729167938232422 × 217)
    floor (0.729167938232422 × 131072)
    floor (95573.5)     		ty = 95573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72082 / 95573 ti = "17/72082/95573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72082/95573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72082 ÷ 217
    72082 ÷ 131072     		x = 0.549942016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95573 ÷ 217
    95573 ÷ 131072     		y = 0.729164123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549942016601562 × 2 - 1) × π
    0.099884033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31379494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729164123535156 × 2 - 1) × π
    -0.458328247070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.43988065388763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31379494} λ = 0.31379494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43988065388763))-π/2
    2×atan(0.236956036776441)-π/2
    2×0.232664819117137-π/2
    0.465329638234275-1.57079632675     		φ = -1.10546669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31379494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.979126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10546669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.338576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72082 KachelY 95573 0.31379494 -1.10546669 17.979126 -63.338576
    Oben rechts KachelX + 1 72083 KachelY 95573 0.31384288 -1.10546669 17.981872 -63.338576
    Unten links KachelX 72082 KachelY + 1 95574 0.31379494 -1.10548820 17.979126 -63.339808
    Unten rechts KachelX + 1 72083 KachelY + 1 95574 0.31384288 -1.10548820 17.981872 -63.339808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10546669--1.10548820) × R
    2.15099999998358e-05 × 6371000     		dl = 137.040209998954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10546669--1.10548820) × R
    2.15099999998358e-05 × 6371000     		dr = 137.040209998954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31379494-0.31384288) × cos(-1.10546669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.448717413553491 × 6371000     		do = 137.049848085371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31379494-0.31384288) × cos(-1.10548820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.44869819052839 × 6371000     		du = 137.043976878705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10546669)-sin(-1.10548820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448717413553491-0.44869819052839)×R²
    abs(0.31384288-0.31379494)×1.92230251001568e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92230251001568e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92230251001568e-05×40589641000000     		ar = 18780.9376670807m²