Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72082 / 75498
↖ ↑ ↗
← S 26.377107°
E 17.979126°		 ← 273.63 m → S 26.377107°
E 17.981872°		 →
↑
273.63 m
↓
↑
273.63 m
↓
S 26.379568°
E 17.979126°		 ← 273.62 m →
74 873 m²		 S 26.379568°
E 17.981872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549945831298828 y=0.576007843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549945831298828 × 217)
    floor (0.549945831298828 × 131072)
    floor (72082.5)     		tx = 72082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576007843017578 × 217)
    floor (0.576007843017578 × 131072)
    floor (75498.5)     		ty = 75498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72082 / 75498 ti = "17/72082/75498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72082/75498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72082 ÷ 217
    72082 ÷ 131072     		x = 0.549942016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75498 ÷ 217
    75498 ÷ 131072     		y = 0.576004028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549942016601562 × 2 - 1) × π
    0.099884033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31379494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576004028320312 × 2 - 1) × π
    -0.152008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.477547394014999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31379494} λ = 0.31379494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.477547394014999))-π/2
    2×atan(0.620302886255212)-π/2
    2×0.555214482879176-π/2
    1.11042896575835-1.57079632675     		φ = -0.46036736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31379494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.979126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46036736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.377107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72082 KachelY 75498 0.31379494 -0.46036736 17.979126 -26.377107
    Oben rechts KachelX + 1 72083 KachelY 75498 0.31384288 -0.46036736 17.981872 -26.377107
    Unten links KachelX 72082 KachelY + 1 75499 0.31379494 -0.46041031 17.979126 -26.379568
    Unten rechts KachelX + 1 72083 KachelY + 1 75499 0.31384288 -0.46041031 17.981872 -26.379568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46036736--0.46041031) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dl = 273.634449999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46036736--0.46041031) × R
    4.29499999999861e-05 × 6371000     		dr = 273.634449999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31379494-0.31384288) × cos(-0.46036736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895889348289967 × 6371000     		do = 273.627667159402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31379494-0.31384288) × cos(-0.46041031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895870265755725 × 6371000     		du = 273.621838862259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46036736)-sin(-0.46041031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895889348289967-0.895870265755725)×R²
    abs(0.31384288-0.31379494)×1.90825342426537e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90825342426537e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90825342426537e-05×40589641000000     		ar = 74873.1588080406m²