Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7208 / 10644
↖ ↑ ↗
← S 47.338823°
W 21.621094°		 ← 1 655.67 m → S 47.338823°
W 21.599121°		 →
↑
1 655.44 m
↓
↑
1 655.44 m
↓
S 47.353710°
W 21.621094°		 ← 1 655.21 m →
2 740 481 m²		 S 47.353710°
W 21.599121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439971923828125 y=0.649688720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439971923828125 × 214)
    floor (0.439971923828125 × 16384)
    floor (7208.5)     		tx = 7208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649688720703125 × 214)
    floor (0.649688720703125 × 16384)
    floor (10644.5)     		ty = 10644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7208 / 10644 ti = "14/7208/10644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7208/10644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7208 ÷ 214
    7208 ÷ 16384     		x = 0.43994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10644 ÷ 214
    10644 ÷ 16384     		y = 0.649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43994140625 × 2 - 1) × π
    -0.1201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37735927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.29931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.940330222947022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37735927} λ = -0.37735927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940330222947022))-π/2
    2×atan(0.390498862379631)-π/2
    2×0.372289003385326-π/2
    0.744578006770651-1.57079632675     		φ = -0.82621832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37735927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.621094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82621832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.338823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7208 KachelY 10644 -0.37735927 -0.82621832 -21.621094 -47.338823
    Oben rechts KachelX + 1 7209 KachelY 10644 -0.37697578 -0.82621832 -21.599121 -47.338823
    Unten links KachelX 7208 KachelY + 1 10645 -0.37735927 -0.82647816 -21.621094 -47.353710
    Unten rechts KachelX + 1 7209 KachelY + 1 10645 -0.37697578 -0.82647816 -21.599121 -47.353710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82621832--0.82647816) × R
    0.000259840000000011 × 6371000     		dl = 1655.44064000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82621832--0.82647816) × R
    0.000259840000000011 × 6371000     		dr = 1655.44064000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37735927--0.37697578) × cos(-0.82621832) × R
    0.000383490000000042 × 0.677661547998942 × 6371000     		do = 1655.67271668549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37735927--0.37697578) × cos(-0.82647816) × R
    0.000383490000000042 × 0.677470445560675 × 6371000     		du = 1655.20581238191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82621832)-sin(-0.82647816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677661547998942-0.677470445560675)×R²
    abs(-0.37697578--0.37735927)×0.000191102438267032×R²
    0.000383490000000042×0.000191102438267032×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191102438267032×40589641000000     		ar = 2740481.45098107m²