Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72074 / 75582
↖ ↑ ↗
← S 26.583615°
E 17.957153°		 ← 273.14 m → S 26.583615°
E 17.959900°		 →
↑
273.06 m
↓
↑
273.06 m
↓
S 26.586071°
E 17.957153°		 ← 273.13 m →
74 582 m²		 S 26.586071°
E 17.959900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549884796142578 y=0.576648712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549884796142578 × 217)
    floor (0.549884796142578 × 131072)
    floor (72074.5)     		tx = 72074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576648712158203 × 217)
    floor (0.576648712158203 × 131072)
    floor (75582.5)     		ty = 75582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72074 / 75582 ti = "17/72074/75582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72074/75582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72074 ÷ 217
    72074 ÷ 131072     		x = 0.549880981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75582 ÷ 217
    75582 ÷ 131072     		y = 0.576644897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549880981445312 × 2 - 1) × π
    0.099761962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31341145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576644897460938 × 2 - 1) × π
    -0.153289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.481574093583084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31341145} λ = 0.31341145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481574093583084))-π/2
    2×atan(0.617810135039354)-π/2
    2×0.553412360614097-π/2
    1.10682472122819-1.57079632675     		φ = -0.46397161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31341145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.957153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46397161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.583615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72074 KachelY 75582 0.31341145 -0.46397161 17.957153 -26.583615
    Oben rechts KachelX + 1 72075 KachelY 75582 0.31345939 -0.46397161 17.959900 -26.583615
    Unten links KachelX 72074 KachelY + 1 75583 0.31341145 -0.46401447 17.957153 -26.586071
    Unten rechts KachelX + 1 72075 KachelY + 1 75583 0.31345939 -0.46401447 17.959900 -26.586071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46397161--0.46401447) × R
    4.28600000000334e-05 × 6371000     		dl = 273.061060000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46397161--0.46401447) × R
    4.28600000000334e-05 × 6371000     		dr = 273.061060000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31341145-0.31345939) × cos(-0.46397161) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894282246403672 × 6371000     		do = 273.136816876841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31341145-0.31345939) × cos(-0.46401447) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.894263065587966 × 6371000     		du = 273.13095856201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46397161)-sin(-0.46401447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894282246403672-0.894263065587966)×R²
    abs(0.31345939-0.31341145)×1.91808157067319e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.91808157067319e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.91808157067319e-05×40589641000000     		ar = 74582.2289140141m²