Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72071 / 75581
↖ ↑ ↗
← S 26.581159°
E 17.948914°		 ← 273.14 m → S 26.581159°
E 17.951660°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
S 26.583615°
E 17.948914°		 ← 273.14 m →
74 601 m²		 S 26.583615°
E 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549861907958984 y=0.576641082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549861907958984 × 217)
    floor (0.549861907958984 × 131072)
    floor (72071.5)     		tx = 72071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576641082763672 × 217)
    floor (0.576641082763672 × 131072)
    floor (75581.5)     		ty = 75581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72071 / 75581 ti = "17/72071/75581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72071/75581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72071 ÷ 217
    72071 ÷ 131072     		x = 0.549858093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75581 ÷ 217
    75581 ÷ 131072     		y = 0.576637268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549858093261719 × 2 - 1) × π
    0.0997161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31326764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576637268066406 × 2 - 1) × π
    -0.153274536132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.481526156683464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31326764} λ = 0.31326764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481526156683464))-π/2
    2×atan(0.617839751651641)-π/2
    2×0.553433795403185-π/2
    1.10686759080637-1.57079632675     		φ = -0.46392874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31326764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.948914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46392874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.581159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72071 KachelY 75581 0.31326764 -0.46392874 17.948914 -26.581159
    Oben rechts KachelX + 1 72072 KachelY 75581 0.31331558 -0.46392874 17.951660 -26.581159
    Unten links KachelX 72071 KachelY + 1 75582 0.31326764 -0.46397161 17.948914 -26.583615
    Unten rechts KachelX + 1 72072 KachelY + 1 75582 0.31331558 -0.46397161 17.951660 -26.583615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46392874--0.46397161) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dl = 273.124769999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46392874--0.46397161) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dr = 273.124769999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31326764-0.31331558) × cos(-0.46392874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894301430051251 × 6371000     		do = 273.142676056283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31326764-0.31331558) × cos(-0.46397161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894282246403672 × 6371000     		du = 273.136816876525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46392874)-sin(-0.46397161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894301430051251-0.894282246403672)×R²
    abs(0.31331558-0.31326764)×1.91836475789131e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91836475789131e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91836475789131e-05×40589641000000     		ar = 74601.23044288m²