Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72071 / 75579
↖ ↑ ↗
← S 26.576246°
E 17.948914°		 ← 273.15 m → S 26.576246°
E 17.951660°		 →
↑
273.19 m
↓
↑
273.19 m
↓
S 26.578703°
E 17.948914°		 ← 273.15 m →
74 622 m²		 S 26.578703°
E 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549861907958984 y=0.576625823974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549861907958984 × 217)
    floor (0.549861907958984 × 131072)
    floor (72071.5)     		tx = 72071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576625823974609 × 217)
    floor (0.576625823974609 × 131072)
    floor (75579.5)     		ty = 75579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72071 / 75579 ti = "17/72071/75579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72071/75579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72071 ÷ 217
    72071 ÷ 131072     		x = 0.549858093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75579 ÷ 217
    75579 ÷ 131072     		y = 0.576622009277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549858093261719 × 2 - 1) × π
    0.0997161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31326764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576622009277344 × 2 - 1) × π
    -0.153244018554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.481430282884224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31326764} λ = 0.31326764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.481430282884224))-π/2
    2×atan(0.617898989135569)-π/2
    2×0.55347666636068-π/2
    1.10695333272136-1.57079632675     		φ = -0.46384299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31326764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.948914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46384299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.576246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72071 KachelY 75579 0.31326764 -0.46384299 17.948914 -26.576246
    Oben rechts KachelX + 1 72072 KachelY 75579 0.31331558 -0.46384299 17.951660 -26.576246
    Unten links KachelX 72071 KachelY + 1 75580 0.31326764 -0.46388587 17.948914 -26.578703
    Unten rechts KachelX + 1 72072 KachelY + 1 75580 0.31331558 -0.46388587 17.951660 -26.578703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46384299--0.46388587) × R
    4.28799999999674e-05 × 6371000     		dl = 273.188479999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46384299--0.46388587) × R
    4.28799999999674e-05 × 6371000     		dr = 273.188479999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31326764-0.31331558) × cos(-0.46384299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894339796889517 × 6371000     		do = 273.154394276251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31326764-0.31331558) × cos(-0.46388587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89432061205525 × 6371000     		du = 273.148534734049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46384299)-sin(-0.46388587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894339796889517-0.89432061205525)×R²
    abs(0.31331558-0.31326764)×1.91848342667722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91848342667722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91848342667722e-05×40589641000000     		ar = 74621.8334093549m²