Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72071 / 75485
↖ ↑ ↗
← S 26.345114°
E 17.948914°		 ← 273.70 m → S 26.345114°
E 17.951660°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
S 26.347575°
E 17.948914°		 ← 273.70 m →
74 911 m²		 S 26.347575°
E 17.951660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549861907958984 y=0.575908660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549861907958984 × 217)
    floor (0.549861907958984 × 131072)
    floor (72071.5)     		tx = 72071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575908660888672 × 217)
    floor (0.575908660888672 × 131072)
    floor (75485.5)     		ty = 75485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72071 / 75485 ti = "17/72071/75485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72071/75485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72071 ÷ 217
    72071 ÷ 131072     		x = 0.549858093261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75485 ÷ 217
    75485 ÷ 131072     		y = 0.575904846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549858093261719 × 2 - 1) × π
    0.0997161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31326764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575904846191406 × 2 - 1) × π
    -0.151809692382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.476924214319939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31326764} λ = 0.31326764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476924214319939))-π/2
    2×atan(0.620689566891961)-π/2
    2×0.555493671536905-π/2
    1.11098734307381-1.57079632675     		φ = -0.45980898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31326764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.948914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45980898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.345114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72071 KachelY 75485 0.31326764 -0.45980898 17.948914 -26.345114
    Oben rechts KachelX + 1 72072 KachelY 75485 0.31331558 -0.45980898 17.951660 -26.345114
    Unten links KachelX 72071 KachelY + 1 75486 0.31326764 -0.45985194 17.948914 -26.347575
    Unten rechts KachelX + 1 72072 KachelY + 1 75486 0.31331558 -0.45985194 17.951660 -26.347575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45980898--0.45985194) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dl = 273.698160000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45980898--0.45985194) × R
    4.29600000000363e-05 × 6371000     		dr = 273.698160000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31326764-0.31331558) × cos(-0.45980898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896137284144533 × 6371000     		do = 273.703393151255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31326764-0.31331558) × cos(-0.45985194) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.896118218660477 × 6371000     		du = 273.697570061679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45980898)-sin(-0.45985194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896137284144533-0.896118218660477)×R²
    abs(0.31331558-0.31326764)×1.90654840565019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.90654840565019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.90654840565019e-05×40589641000000     		ar = 74911.3182184508m²