Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72070 / 75486
↖ ↑ ↗
← S 26.347575°
E 17.946167°		 ← 273.70 m → S 26.347575°
E 17.948914°		 →
↑
273.70 m
↓
↑
273.70 m
↓
S 26.350037°
E 17.946167°		 ← 273.69 m →
74 910 m²		 S 26.350037°
E 17.948914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549854278564453 y=0.575916290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549854278564453 × 217)
    floor (0.549854278564453 × 131072)
    floor (72070.5)     		tx = 72070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575916290283203 × 217)
    floor (0.575916290283203 × 131072)
    floor (75486.5)     		ty = 75486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72070 / 75486 ti = "17/72070/75486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72070/75486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72070 ÷ 217
    72070 ÷ 131072     		x = 0.549850463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75486 ÷ 217
    75486 ÷ 131072     		y = 0.575912475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549850463867188 × 2 - 1) × π
    0.099700927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31321970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575912475585938 × 2 - 1) × π
    -0.151824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.476972151219559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31321970} λ = 0.31321970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476972151219559))-π/2
    2×atan(0.620659813671641)-π/2
    2×0.555472192743896-π/2
    1.11094438548779-1.57079632675     		φ = -0.45985194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31321970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.946167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45985194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.347575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72070 KachelY 75486 0.31321970 -0.45985194 17.946167 -26.347575
    Oben rechts KachelX + 1 72071 KachelY 75486 0.31326764 -0.45985194 17.948914 -26.347575
    Unten links KachelX 72070 KachelY + 1 75487 0.31321970 -0.45989490 17.946167 -26.350037
    Unten rechts KachelX + 1 72071 KachelY + 1 75487 0.31326764 -0.45989490 17.948914 -26.350037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45985194--0.45989490) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dl = 273.698159999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45985194--0.45989490) × R
    4.29599999999808e-05 × 6371000     		dr = 273.698159999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31321970-0.31326764) × cos(-0.45985194) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896118218660477 × 6371000     		do = 273.697570061995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31321970-0.31326764) × cos(-0.45989490) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.896099151522579 × 6371000     		du = 273.691746467293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45985194)-sin(-0.45989490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896118218660477-0.896099151522579)×R²
    abs(0.31326764-0.31321970)×1.9067137897899e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9067137897899e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9067137897899e-05×40589641000000     		ar = 74909.7243803587m²