Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72069 / 75599
↖ ↑ ↗
← S 26.625363°
E 17.943421°		 ← 272.98 m → S 26.625363°
E 17.946167°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
S 26.627818°
E 17.943421°		 ← 272.97 m →
74 522 m²		 S 26.627818°
E 17.946167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549846649169922 y=0.576778411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549846649169922 × 217)
    floor (0.549846649169922 × 131072)
    floor (72069.5)     		tx = 72069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576778411865234 × 217)
    floor (0.576778411865234 × 131072)
    floor (75599.5)     		ty = 75599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72069 / 75599 ti = "17/72069/75599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72069/75599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72069 ÷ 217
    72069 ÷ 131072     		x = 0.549842834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75599 ÷ 217
    75599 ÷ 131072     		y = 0.576774597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549842834472656 × 2 - 1) × π
    0.0996856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31317177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576774597167969 × 2 - 1) × π
    -0.153549194335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.482389020876625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31317177} λ = 0.31317177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482389020876625))-π/2
    2×atan(0.617306869788231)-π/2
    2×0.553048039575002-π/2
    1.10609607915-1.57079632675     		φ = -0.46470025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31317177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.943421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46470025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.625363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72069 KachelY 75599 0.31317177 -0.46470025 17.943421 -26.625363
    Oben rechts KachelX + 1 72070 KachelY 75599 0.31321970 -0.46470025 17.946167 -26.625363
    Unten links KachelX 72069 KachelY + 1 75600 0.31317177 -0.46474310 17.943421 -26.627818
    Unten rechts KachelX + 1 72070 KachelY + 1 75600 0.31321970 -0.46474310 17.946167 -26.627818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46470025--0.46474310) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dl = 272.997350000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46470025--0.46474310) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dr = 272.997350000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31317177-0.31321970) × cos(-0.46470025) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.89395594018448 × 6371000     		do = 272.980200625142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31317177-0.31321970) × cos(-0.46474310) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893936735928101 × 6371000     		du = 272.97433637443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46470025)-sin(-0.46474310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89395594018448-0.893936735928101)×R²
    abs(0.31321970-0.31317177)×1.92042563781358e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92042563781358e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92042563781358e-05×40589641000000     		ar = 74522.0709221207m²