Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72068 / 95900
↖ ↑ ↗
← S 63.738770°
E 17.940674°		 ← 135.14 m → S 63.738770°
E 17.943421°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
S 63.739985°
E 17.940674°		 ← 135.13 m →
18 261 m²		 S 63.739985°
E 17.943421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549839019775391 y=0.731662750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549839019775391 × 217)
    floor (0.549839019775391 × 131072)
    floor (72068.5)     		tx = 72068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731662750244141 × 217)
    floor (0.731662750244141 × 131072)
    floor (95900.5)     		ty = 95900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72068 / 95900 ti = "17/72068/95900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72068/95900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72068 ÷ 217
    72068 ÷ 131072     		x = 0.549835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95900 ÷ 217
    95900 ÷ 131072     		y = 0.731658935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549835205078125 × 2 - 1) × π
    0.09967041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31312383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731658935546875 × 2 - 1) × π
    -0.46331787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45555602006339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31312383} λ = 0.31312383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45555602006339))-π/2
    2×atan(0.233270624688166)-π/2
    2×0.229172461660815-π/2
    0.458344923321631-1.57079632675     		φ = -1.11245140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31312383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.940674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11245140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.738770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72068 KachelY 95900 0.31312383 -1.11245140 17.940674 -63.738770
    Oben rechts KachelX + 1 72069 KachelY 95900 0.31317177 -1.11245140 17.943421 -63.738770
    Unten links KachelX 72068 KachelY + 1 95901 0.31312383 -1.11247261 17.940674 -63.739985
    Unten rechts KachelX + 1 72069 KachelY + 1 95901 0.31317177 -1.11247261 17.943421 -63.739985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11245140--1.11247261) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dl = 135.128909999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11245140--1.11247261) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dr = 135.128909999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31312383-0.31317177) × cos(-1.11245140) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442464467117439 × 6371000     		do = 135.140037293117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31312383-0.31317177) × cos(-1.11247261) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442445446186081 × 6371000     		du = 135.134227811082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11245140)-sin(-1.11247261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442464467117439-0.442445446186081)×R²
    abs(0.31317177-0.31312383)×1.9020931358027e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9020931358027e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9020931358027e-05×40589641000000     		ar = 18260.9334229963m²