Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72065 / 75600
↖ ↑ ↗
← S 26.627818°
E 17.932434°		 ← 272.97 m → S 26.627818°
E 17.935180°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
S 26.630273°
E 17.932434°		 ← 272.97 m →
74 520 m²		 S 26.630273°
E 17.935180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549816131591797 y=0.576786041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549816131591797 × 217)
    floor (0.549816131591797 × 131072)
    floor (72065.5)     		tx = 72065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576786041259766 × 217)
    floor (0.576786041259766 × 131072)
    floor (75600.5)     		ty = 75600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72065 / 75600 ti = "17/72065/75600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72065/75600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72065 ÷ 217
    72065 ÷ 131072     		x = 0.549812316894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75600 ÷ 217
    75600 ÷ 131072     		y = 0.5767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549812316894531 × 2 - 1) × π
    0.0996246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31298002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.482436957776245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31298002} λ = 0.31298002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482436957776245))-π/2
    2×atan(0.617277278720037)-π/2
    2×0.553026613067054-π/2
    1.10605322613411-1.57079632675     		φ = -0.46474310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31298002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.932434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46474310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.627818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72065 KachelY 75600 0.31298002 -0.46474310 17.932434 -26.627818
    Oben rechts KachelX + 1 72066 KachelY 75600 0.31302795 -0.46474310 17.935180 -26.627818
    Unten links KachelX 72065 KachelY + 1 75601 0.31298002 -0.46478595 17.932434 -26.630273
    Unten rechts KachelX + 1 72066 KachelY + 1 75601 0.31302795 -0.46478595 17.935180 -26.630273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46474310--0.46478595) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dl = 272.997349999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46474310--0.46478595) × R
    4.28499999999832e-05 × 6371000     		dr = 272.997349999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31298002-0.31302795) × cos(-0.46474310) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893936735928101 × 6371000     		do = 272.97433637443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31298002-0.31302795) × cos(-0.46478595) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.893917530030346 × 6371000     		du = 272.968471622503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46474310)-sin(-0.46478595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893936735928101-0.893917530030346)×R²
    abs(0.31302795-0.31298002)×1.92058977555032e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92058977555032e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92058977555032e-05×40589641000000     		ar = 74520.4699288031m²