Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72061 / 78621
↖ ↑ ↗
← S 33.790561°
E 17.921448°		 ← 253.83 m → S 33.790561°
E 17.924195°		 →
↑
253.82 m
↓
↑
253.82 m
↓
S 33.792844°
E 17.921448°		 ← 253.83 m →
64 427 m²		 S 33.792844°
E 17.924195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549785614013672 y=0.599834442138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549785614013672 × 217)
    floor (0.549785614013672 × 131072)
    floor (72061.5)     		tx = 72061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599834442138672 × 217)
    floor (0.599834442138672 × 131072)
    floor (78621.5)     		ty = 78621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72061 / 78621 ti = "17/72061/78621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72061/78621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72061 ÷ 217
    72061 ÷ 131072     		x = 0.549781799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78621 ÷ 217
    78621 ÷ 131072     		y = 0.599830627441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549781799316406 × 2 - 1) × π
    0.0995635986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31278827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599830627441406 × 2 - 1) × π
    -0.199661254882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.627254331528435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31278827} λ = 0.31278827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627254331528435))-π/2
    2×atan(0.534056130885398)-π/2
    2×0.490519889014213-π/2
    0.981039778028425-1.57079632675     		φ = -0.58975655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31278827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.921448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58975655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.790561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72061 KachelY 78621 0.31278827 -0.58975655 17.921448 -33.790561
    Oben rechts KachelX + 1 72062 KachelY 78621 0.31283621 -0.58975655 17.924195 -33.790561
    Unten links KachelX 72061 KachelY + 1 78622 0.31278827 -0.58979639 17.921448 -33.792844
    Unten rechts KachelX + 1 72062 KachelY + 1 78622 0.31283621 -0.58979639 17.924195 -33.792844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58975655--0.58979639) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dl = 253.820639999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58975655--0.58979639) × R
    3.98399999999022e-05 × 6371000     		dr = 253.820639999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31278827-0.31283621) × cos(-0.58975655) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.831076100565798 × 6371000     		do = 253.832033011751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31278827-0.31283621) × cos(-0.58979639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.831053942543089 × 6371000     		du = 253.825265381268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58975655)-sin(-0.58979639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831076100565798-0.831053942543089)×R²
    abs(0.31283621-0.31278827)×2.21580227092177e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21580227092177e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21580227092177e-05×40589641000000     		ar = 64426.9501979023m²