Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7206 / 9250
↖ ↑ ↗
← N 61.428261°
W100.832520°		 ← 584.26 m → N 61.428261°
W100.821533°		 →
↑
584.28 m
↓
↑
584.28 m
↓
N 61.423006°
W100.832520°		 ← 584.36 m →
341 403 m²		 N 61.423006°
W100.821533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219924926757812 y=0.282302856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219924926757812 × 215)
    floor (0.219924926757812 × 32768)
    floor (7206.5)     		tx = 7206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282302856445312 × 215)
    floor (0.282302856445312 × 32768)
    floor (9250.5)     		ty = 9250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7206 / 9250 ti = "15/7206/9250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7206/9250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7206 ÷ 215
    7206 ÷ 32768     		x = 0.21990966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9250 ÷ 215
    9250 ÷ 32768     		y = 0.28228759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21990966796875 × 2 - 1) × π
    -0.5601806640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.75985946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28228759765625 × 2 - 1) × π
    0.4354248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.36792736755792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.75985946} λ = -1.75985946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36792736755792))-π/2
    2×atan(3.92720260686137)-π/2
    2×1.3214608644304-π/2
    2.64292172886081-1.57079632675     		φ = 1.07212540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.75985946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.832520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07212540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.428261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7206 KachelY 9250 -1.75985946 1.07212540 -100.832520 61.428261
    Oben rechts KachelX + 1 7207 KachelY 9250 -1.75966771 1.07212540 -100.821533 61.428261
    Unten links KachelX 7206 KachelY + 1 9251 -1.75985946 1.07203369 -100.832520 61.423006
    Unten rechts KachelX + 1 7207 KachelY + 1 9251 -1.75966771 1.07203369 -100.821533 61.423006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07212540-1.07203369) × R
    9.17099999999671e-05 × 6371000     		dl = 584.28440999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07212540-1.07203369) × R
    9.17099999999671e-05 × 6371000     		dr = 584.28440999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.75985946--1.75966771) × cos(1.07212540) × R
    0.000191749999999935 × 0.478258744042212 × 6371000     		do = 584.259653377472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.75985946--1.75966771) × cos(1.07203369) × R
    0.000191749999999935 × 0.478339283493342 × 6371000     		du = 584.358043532146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07212540)-sin(1.07203369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478258744042212-0.478339283493342)×R²
    abs(-1.75966771--1.75985946)×8.05394511306234e-05×R²
    0.000191749999999935×8.05394511306234e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.05394511306234e-05×40589641000000     		ar = 341402.551016097m²