Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7206 / 10582
↖ ↑ ↗
← S 46.407564°
W 21.665039°		 ← 1 684.66 m → S 46.407564°
W 21.643066°		 →
↑
1 684.43 m
↓
↑
1 684.43 m
↓
S 46.422712°
W 21.665039°		 ← 1 684.19 m →
2 837 287 m²		 S 46.422712°
W 21.643066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439849853515625 y=0.645904541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439849853515625 × 214)
    floor (0.439849853515625 × 16384)
    floor (7206.5)     		tx = 7206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645904541015625 × 214)
    floor (0.645904541015625 × 16384)
    floor (10582.5)     		ty = 10582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7206 / 10582 ti = "14/7206/10582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7206/10582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7206 ÷ 214
    7206 ÷ 16384     		x = 0.4398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10582 ÷ 214
    10582 ÷ 16384     		y = 0.6458740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37812626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.291748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.916553520735474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37812626} λ = -0.37812626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916553520735474))-π/2
    2×atan(0.39989489826586)-π/2
    2×0.380415768885567-π/2
    0.760831537771135-1.57079632675     		φ = -0.80996479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37812626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80996479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.407564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7206 KachelY 10582 -0.37812626 -0.80996479 -21.665039 -46.407564
    Oben rechts KachelX + 1 7207 KachelY 10582 -0.37774277 -0.80996479 -21.643066 -46.407564
    Unten links KachelX 7206 KachelY + 1 10583 -0.37812626 -0.81022918 -21.665039 -46.422712
    Unten rechts KachelX + 1 7207 KachelY + 1 10583 -0.37774277 -0.81022918 -21.643066 -46.422712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80996479--0.81022918) × R
    0.000264390000000003 × 6371000     		dl = 1684.42869000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80996479--0.81022918) × R
    0.000264390000000003 × 6371000     		dr = 1684.42869000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37812626--0.37774277) × cos(-0.80996479) × R
    0.000383489999999986 × 0.689523934675751 × 6371000     		do = 1684.65507525873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37812626--0.37774277) × cos(-0.81022918) × R
    0.000383489999999986 × 0.689332422711152 × 6371000     		du = 1684.18717039436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80996479)-sin(-0.81022918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689523934675751-0.689332422711152)×R²
    abs(-0.37774277--0.37812626)×0.000191511964598545×R²
    0.000383489999999986×0.000191511964598545×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191511964598545×40589641000000     		ar = 2837287.28185903m²