Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72058 / 75606
↖ ↑ ↗
← S 26.642549°
E 17.913208°		 ← 273 m → S 26.642549°
E 17.915955°		 →
↑
273 m
↓
↑
273 m
↓
S 26.645004°
E 17.913208°		 ← 272.99 m →
74 526 m²		 S 26.645004°
E 17.915955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549762725830078 y=0.576831817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549762725830078 × 217)
    floor (0.549762725830078 × 131072)
    floor (72058.5)     		tx = 72058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576831817626953 × 217)
    floor (0.576831817626953 × 131072)
    floor (75606.5)     		ty = 75606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72058 / 75606 ti = "17/72058/75606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72058/75606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72058 ÷ 217
    72058 ÷ 131072     		x = 0.549758911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75606 ÷ 217
    75606 ÷ 131072     		y = 0.576828002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549758911132812 × 2 - 1) × π
    0.099517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31264446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576828002929688 × 2 - 1) × π
    -0.153656005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.482724579173965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31264446} λ = 0.31264446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482724579173965))-π/2
    2×atan(0.617099762096364)-π/2
    2×0.552898063687607-π/2
    1.10579612737521-1.57079632675     		φ = -0.46500020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31264446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.913208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46500020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.642549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72058 KachelY 75606 0.31264446 -0.46500020 17.913208 -26.642549
    Oben rechts KachelX + 1 72059 KachelY 75606 0.31269240 -0.46500020 17.915955 -26.642549
    Unten links KachelX 72058 KachelY + 1 75607 0.31264446 -0.46504305 17.913208 -26.645004
    Unten rechts KachelX + 1 72059 KachelY + 1 75607 0.31269240 -0.46504305 17.915955 -26.645004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46500020--0.46504305) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dl = 272.997350000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46500020--0.46504305) × R
    4.28500000000387e-05 × 6371000     		dr = 272.997350000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31264446-0.31269240) × cos(-0.46500020) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893821475922142 × 6371000     		do = 272.996085711234m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31264446-0.31269240) × cos(-0.46504305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.893802260176863 × 6371000     		du = 272.990216728012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46500020)-sin(-0.46504305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893821475922142-0.893802260176863)×R²
    abs(0.31269240-0.31264446)×1.92157452789665e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92157452789665e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92157452789665e-05×40589641000000     		ar = 74526.4068626594m²