Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72057 / 95864
↖ ↑ ↗
← S 63.694987°
E 17.910461°		 ← 135.35 m → S 63.694987°
E 17.913208°		 →
↑
135.32 m
↓
↑
135.32 m
↓
S 63.696204°
E 17.910461°		 ← 135.34 m →
18 315 m²		 S 63.696204°
E 17.913208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549755096435547 y=0.731388092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549755096435547 × 217)
    floor (0.549755096435547 × 131072)
    floor (72057.5)     		tx = 72057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731388092041016 × 217)
    floor (0.731388092041016 × 131072)
    floor (95864.5)     		ty = 95864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72057 / 95864 ti = "17/72057/95864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72057/95864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72057 ÷ 217
    72057 ÷ 131072     		x = 0.549751281738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95864 ÷ 217
    95864 ÷ 131072     		y = 0.73138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549751281738281 × 2 - 1) × π
    0.0995025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31259652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.4627685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45383029167706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31259652} λ = 0.31259652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45383029167706))-π/2
    2×atan(0.233673533982896)-π/2
    2×0.229554543947162-π/2
    0.459109087894325-1.57079632675     		φ = -1.11168724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31259652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.910461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11168724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.694987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72057 KachelY 95864 0.31259652 -1.11168724 17.910461 -63.694987
    Oben rechts KachelX + 1 72058 KachelY 95864 0.31264446 -1.11168724 17.913208 -63.694987
    Unten links KachelX 72057 KachelY + 1 95865 0.31259652 -1.11170848 17.910461 -63.696204
    Unten rechts KachelX + 1 72058 KachelY + 1 95865 0.31264446 -1.11170848 17.913208 -63.696204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11168724--1.11170848) × R
    2.12400000001445e-05 × 6371000     		dl = 135.32004000092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11168724--1.11170848) × R
    2.12400000001445e-05 × 6371000     		dr = 135.32004000092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31259652-0.31264446) × cos(-1.11168724) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443149625881973 × 6371000     		do = 135.349302415793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31259652-0.31264446) × cos(-1.11170848) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443130585233692 × 6371000     		du = 135.343486911701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11168724)-sin(-1.11170848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443149625881973-0.443130585233692)×R²
    abs(0.31264446-0.31259652)×1.90406482810657e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90406482810657e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90406482810657e-05×40589641000000     		ar = 18315.0795406398m²