Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72056 / 95638
↖ ↑ ↗
← S 63.418573°
E 17.907715°		 ← 136.64 m → S 63.418573°
E 17.910461°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
S 63.419802°
E 17.907715°		 ← 136.63 m →
18 673 m²		 S 63.419802°
E 17.910461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549747467041016 y=0.729663848876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549747467041016 × 217)
    floor (0.549747467041016 × 131072)
    floor (72056.5)     		tx = 72056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729663848876953 × 217)
    floor (0.729663848876953 × 131072)
    floor (95638.5)     		ty = 95638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72056 / 95638 ti = "17/72056/95638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72056/95638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72056 ÷ 217
    72056 ÷ 131072     		x = 0.54974365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95638 ÷ 217
    95638 ÷ 131072     		y = 0.729660034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54974365234375 × 2 - 1) × π
    0.0994873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31254859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729660034179688 × 2 - 1) × π
    -0.459320068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44299655236293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31254859} λ = 0.31254859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44299655236293))-π/2
    2×atan(0.236218854911091)-π/2
    2×0.23196671281334-π/2
    0.46393342562668-1.57079632675     		φ = -1.10686290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31254859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.907715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10686290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.418573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72056 KachelY 95638 0.31254859 -1.10686290 17.907715 -63.418573
    Oben rechts KachelX + 1 72057 KachelY 95638 0.31259652 -1.10686290 17.910461 -63.418573
    Unten links KachelX 72056 KachelY + 1 95639 0.31254859 -1.10688435 17.907715 -63.419802
    Unten rechts KachelX + 1 72057 KachelY + 1 95639 0.31259652 -1.10688435 17.910461 -63.419802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10686290--1.10688435) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10686290--1.10688435) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31254859-0.31259652) × cos(-1.10686290) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.447469220436339 × 6371000     		do = 136.640109514883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31254859-0.31259652) × cos(-1.10688435) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.44745003761271 × 6371000     		du = 136.634251808919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10686290)-sin(-1.10688435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447469220436339-0.44745003761271)×R²
    abs(0.31259652-0.31254859)×1.91828236293379e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.91828236293379e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.91828236293379e-05×40589641000000     		ar = 18672.5570036207m²