Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72055 / 95862
↖ ↑ ↗
← S 63.692552°
E 17.904968°		 ← 135.36 m → S 63.692552°
E 17.907715°		 →
↑
135.38 m
↓
↑
135.38 m
↓
S 63.693770°
E 17.904968°		 ← 135.36 m →
18 325 m²		 S 63.693770°
E 17.907715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549739837646484 y=0.731372833251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549739837646484 × 217)
    floor (0.549739837646484 × 131072)
    floor (72055.5)     		tx = 72055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731372833251953 × 217)
    floor (0.731372833251953 × 131072)
    floor (95862.5)     		ty = 95862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72055 / 95862 ti = "17/72055/95862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72055/95862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72055 ÷ 217
    72055 ÷ 131072     		x = 0.549736022949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95862 ÷ 217
    95862 ÷ 131072     		y = 0.731369018554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549736022949219 × 2 - 1) × π
    0.0994720458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31250065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731369018554688 × 2 - 1) × π
    -0.462738037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45373441787782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31250065} λ = 0.31250065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45373441787782))-π/2
    2×atan(0.233695938226353)-π/2
    2×0.229575788079245-π/2
    0.45915157615849-1.57079632675     		φ = -1.11164475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31250065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.904968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11164475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.692552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72055 KachelY 95862 0.31250065 -1.11164475 17.904968 -63.692552
    Oben rechts KachelX + 1 72056 KachelY 95862 0.31254859 -1.11164475 17.907715 -63.692552
    Unten links KachelX 72055 KachelY + 1 95863 0.31250065 -1.11166600 17.904968 -63.693770
    Unten rechts KachelX + 1 72056 KachelY + 1 95863 0.31254859 -1.11166600 17.907715 -63.693770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11164475--1.11166600) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dl = 135.383750000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11164475--1.11166600) × R
    2.12500000000837e-05 × 6371000     		dr = 135.383750000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31250065-0.31254859) × cos(-1.11164475) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.44318771554305 × 6371000     		do = 135.360935978714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31250065-0.31254859) × cos(-1.11166600) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.443168666330333 × 6371000     		du = 135.355117858823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11164475)-sin(-1.11166600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44318771554305-0.443168666330333)×R²
    abs(0.31254859-0.31250065)×1.9049212717781e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9049212717781e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9049212717781e-05×40589641000000     		ar = 18325.277277652m²