Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72050 / 95884
↖ ↑ ↗
← S 63.719319°
E 17.891235°		 ← 135.23 m → S 63.719319°
E 17.893982°		 →
↑
135.26 m
↓
↑
135.26 m
↓
S 63.720536°
E 17.891235°		 ← 135.23 m →
18 291 m²		 S 63.720536°
E 17.893982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549701690673828 y=0.731540679931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549701690673828 × 217)
    floor (0.549701690673828 × 131072)
    floor (72050.5)     		tx = 72050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731540679931641 × 217)
    floor (0.731540679931641 × 131072)
    floor (95884.5)     		ty = 95884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72050 / 95884 ti = "17/72050/95884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72050/95884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72050 ÷ 217
    72050 ÷ 131072     		x = 0.549697875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95884 ÷ 217
    95884 ÷ 131072     		y = 0.731536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549697875976562 × 2 - 1) × π
    0.099395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31226096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.46307373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45478902966946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31226096} λ = 0.31226096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45478902966946))-π/2
    2×atan(0.233449609647584)-π/2
    2×0.22934220302392-π/2
    0.45868440604784-1.57079632675     		φ = -1.11211192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31226096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.891235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11211192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.719319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72050 KachelY 95884 0.31226096 -1.11211192 17.891235 -63.719319
    Oben rechts KachelX + 1 72051 KachelY 95884 0.31230890 -1.11211192 17.893982 -63.719319
    Unten links KachelX 72050 KachelY + 1 95885 0.31226096 -1.11213315 17.891235 -63.720536
    Unten rechts KachelX + 1 72051 KachelY + 1 95885 0.31230890 -1.11213315 17.893982 -63.720536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11211192--1.11213315) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dl = 135.256329999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11211192--1.11213315) × R
    2.12299999999832e-05 × 6371000     		dr = 135.256329999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31226096-0.31230890) × cos(-1.11211192) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442768882538999 × 6371000     		do = 135.233013598515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31226096-0.31230890) × cos(-1.11213315) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.442749846861673 × 6371000     		du = 135.227199612681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11211192)-sin(-1.11213315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442768882538999-0.442749846861673)×R²
    abs(0.31230890-0.31226096)×1.90356773258071e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.90356773258071e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.90356773258071e-05×40589641000000     		ar = 18290.727925528m²