Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7205 / 5106
↖ ↑ ↗
← N 76.875787°
W100.843506°		 ← 277.39 m → N 76.875787°
W100.832520°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 76.873291°
W100.843506°		 ← 277.44 m →
76 971 m²		 N 76.873291°
W100.832520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219894409179688 y=0.155838012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219894409179688 × 215)
    floor (0.219894409179688 × 32768)
    floor (7205.5)     		tx = 7205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155838012695312 × 215)
    floor (0.155838012695312 × 32768)
    floor (5106.5)     		ty = 5106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7205 / 5106 ti = "15/7205/5106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7205/5106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7205 ÷ 215
    7205 ÷ 32768     		x = 0.219879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5106 ÷ 215
    5106 ÷ 32768     		y = 0.15582275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.56024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76005121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15582275390625 × 2 - 1) × π
    0.6883544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16252941565997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76005121} λ = -1.76005121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16252941565997))-π/2
    2×atan(8.6930983319737)-π/2
    2×1.45626595664141-π/2
    2.91253191328282-1.57079632675     		φ = 1.34173559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76005121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34173559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.875787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7205 KachelY 5106 -1.76005121 1.34173559 -100.843506 76.875787
    Oben rechts KachelX + 1 7206 KachelY 5106 -1.75985946 1.34173559 -100.832520 76.875787
    Unten links KachelX 7205 KachelY + 1 5107 -1.76005121 1.34169204 -100.843506 76.873291
    Unten rechts KachelX + 1 7206 KachelY + 1 5107 -1.75985946 1.34169204 -100.832520 76.873291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34173559-1.34169204) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34173559-1.34169204) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76005121--1.75985946) × cos(1.34173559) × R
    0.000191750000000157 × 0.227062894088153 × 6371000     		do = 277.388943636907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76005121--1.75985946) × cos(1.34169204) × R
    0.000191750000000157 × 0.227105306351013 × 6371000     		du = 277.440756121899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34173559)-sin(1.34169204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227062894088153-0.227105306351013)×R²
    abs(-1.75985946--1.76005121)×4.24122628600032e-05×R²
    0.000191750000000157×4.24122628600032e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.24122628600032e-05×40589641000000     		ar = 76970.7058855857m²