Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7205 / 5087
↖ ↑ ↗
← N 76.923100°
W100.843506°		 ← 276.41 m → N 76.923100°
W100.832520°		 →
↑
276.44 m
↓
↑
276.44 m
↓
N 76.920614°
W100.843506°		 ← 276.46 m →
76 416 m²		 N 76.920614°
W100.832520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219894409179688 y=0.155258178710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219894409179688 × 215)
    floor (0.219894409179688 × 32768)
    floor (7205.5)     		tx = 7205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155258178710938 × 215)
    floor (0.155258178710938 × 32768)
    floor (5087.5)     		ty = 5087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7205 / 5087 ti = "15/7205/5087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7205/5087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7205 ÷ 215
    7205 ÷ 32768     		x = 0.219879150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5087 ÷ 215
    5087 ÷ 32768     		y = 0.155242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.219879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.56024169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76005121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155242919921875 × 2 - 1) × π
    0.68951416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1661726200311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76005121} λ = -1.76005121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1661726200311))-π/2
    2×atan(8.72482682741782)-π/2
    2×1.45667884196389-π/2
    2.91335768392779-1.57079632675     		φ = 1.34256136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76005121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.843506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34256136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.923100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7205 KachelY 5087 -1.76005121 1.34256136 -100.843506 76.923100
    Oben rechts KachelX + 1 7206 KachelY 5087 -1.75985946 1.34256136 -100.832520 76.923100
    Unten links KachelX 7205 KachelY + 1 5088 -1.76005121 1.34251797 -100.843506 76.920614
    Unten rechts KachelX + 1 7206 KachelY + 1 5088 -1.75985946 1.34251797 -100.832520 76.920614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34256136-1.34251797) × R
    4.33899999998655e-05 × 6371000     		dl = 276.437689999143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34256136-1.34251797) × R
    4.33899999998655e-05 × 6371000     		dr = 276.437689999143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76005121--1.75985946) × cos(1.34256136) × R
    0.000191750000000157 × 0.226258615795715 × 6371000     		do = 276.406405706942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76005121--1.75985946) × cos(1.34251797) × R
    0.000191750000000157 × 0.226300880361387 × 6371000     		du = 276.458037759252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34256136)-sin(1.34251797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226258615795715-0.226300880361387)×R²
    abs(-1.75985946--1.76005121)×4.22645656725784e-05×R²
    0.000191750000000157×4.22645656725784e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.22645656725784e-05×40589641000000     		ar = 76416.2848291023m²