Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7205 / 4782
↖ ↑ ↗
← N 59.734254°
W 21.687012°		 ← 1 231.44 m → N 59.734254°
W 21.665039°		 →
↑
1 231.64 m
↓
↑
1 231.64 m
↓
N 59.723177°
W 21.687012°		 ← 1 231.85 m →
1 516 944 m²		 N 59.723177°
W 21.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439788818359375 y=0.291900634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439788818359375 × 214)
    floor (0.439788818359375 × 16384)
    floor (7205.5)     		tx = 7205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291900634765625 × 214)
    floor (0.291900634765625 × 16384)
    floor (4782.5)     		ty = 4782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7205 / 4782 ti = "14/7205/4782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7205/4782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7205 ÷ 214
    7205 ÷ 16384     		x = 0.43975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4782 ÷ 214
    4782 ÷ 16384     		y = 0.2918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37850976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2918701171875 × 2 - 1) × π
    0.416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30771862163513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37850976} λ = -0.37850976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30771862163513))-π/2
    2×atan(3.69772816509399)-π/2
    2×1.30667786282865-π/2
    2.6133557256573-1.57079632675     		φ = 1.04255940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37850976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04255940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.734254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7205 KachelY 4782 -0.37850976 1.04255940 -21.687012 59.734254
    Oben rechts KachelX + 1 7206 KachelY 4782 -0.37812626 1.04255940 -21.665039 59.734254
    Unten links KachelX 7205 KachelY + 1 4783 -0.37850976 1.04236608 -21.687012 59.723177
    Unten rechts KachelX + 1 7206 KachelY + 1 4783 -0.37812626 1.04236608 -21.665039 59.723177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04255940-1.04236608) × R
    0.000193319999999941 × 6371000     		dl = 1231.64171999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04255940-1.04236608) × R
    0.000193319999999941 × 6371000     		dr = 1231.64171999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37850976--0.37812626) × cos(1.04255940) × R
    0.000383499999999981 × 0.504011364259162 × 6371000     		do = 1231.44013005002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37850976--0.37812626) × cos(1.04236608) × R
    0.000383499999999981 × 0.504178324748177 × 6371000     		du = 1231.84806102318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04255940)-sin(1.04236608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504011364259162-0.504178324748177)×R²
    abs(-0.37812626--0.37850976)×0.000166960489015211×R²
    0.000383499999999981×0.000166960489015211×6371000²
    0.000383499999999981×0.000166960489015211×40589641000000     		ar = 1516944.25697803m²