Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7204 / 9252
↖ ↑ ↗
← N 61.417750°
W100.854492°		 ← 584.43 m → N 61.417750°
W100.843506°		 →
↑
584.48 m
↓
↑
584.48 m
↓
N 61.412494°
W100.854492°		 ← 584.52 m →
341 611 m²		 N 61.412494°
W100.843506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219863891601562 y=0.282363891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219863891601562 × 215)
    floor (0.219863891601562 × 32768)
    floor (7204.5)     		tx = 7204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282363891601562 × 215)
    floor (0.282363891601562 × 32768)
    floor (9252.5)     		ty = 9252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7204 / 9252 ti = "15/7204/9252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7204/9252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7204 ÷ 215
    7204 ÷ 32768     		x = 0.2198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9252 ÷ 215
    9252 ÷ 32768     		y = 0.2823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.76024295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2823486328125 × 2 - 1) × π
    0.435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36754387236096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76024295} λ = -1.76024295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36754387236096))-π/2
    2×atan(3.92569683227126)-π/2
    2×1.32136914402113-π/2
    2.64273828804225-1.57079632675     		φ = 1.07194196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76024295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.854492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07194196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.417750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7204 KachelY 9252 -1.76024295 1.07194196 -100.854492 61.417750
    Oben rechts KachelX + 1 7205 KachelY 9252 -1.76005121 1.07194196 -100.843506 61.417750
    Unten links KachelX 7204 KachelY + 1 9253 -1.76024295 1.07185022 -100.854492 61.412494
    Unten rechts KachelX + 1 7205 KachelY + 1 9253 -1.76005121 1.07185022 -100.843506 61.412494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07194196-1.07185022) × R
    9.17400000000068e-05 × 6371000     		dl = 584.475540000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07194196-1.07185022) × R
    9.17400000000068e-05 × 6371000     		dr = 584.475540000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76024295--1.76005121) × cos(1.07194196) × R
    0.000191739999999996 × 0.478419836483918 × 6371000     		do = 584.425970099541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76024295--1.76005121) × cos(1.07185022) × R
    0.000191739999999996 × 0.478500394229755 × 6371000     		du = 584.524377471413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07194196)-sin(1.07185022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478419836483918-0.478500394229755)×R²
    abs(-1.76005121--1.76024295)×8.05577458365403e-05×R²
    0.000191739999999996×8.05577458365403e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.05577458365403e-05×40589641000000     		ar = 341611.443054846m²