Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72039 / 78629
↖ ↑ ↗
← S 33.808820°
E 17.861023°		 ← 253.78 m → S 33.808820°
E 17.863770°		 →
↑
253.76 m
↓
↑
253.76 m
↓
S 33.811102°
E 17.861023°		 ← 253.77 m →
64 397 m²		 S 33.811102°
E 17.863770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549617767333984 y=0.599895477294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549617767333984 × 217)
    floor (0.549617767333984 × 131072)
    floor (72039.5)     		tx = 72039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599895477294922 × 217)
    floor (0.599895477294922 × 131072)
    floor (78629.5)     		ty = 78629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72039 / 78629 ti = "17/72039/78629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72039/78629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72039 ÷ 217
    72039 ÷ 131072     		x = 0.549613952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78629 ÷ 217
    78629 ÷ 131072     		y = 0.599891662597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549613952636719 × 2 - 1) × π
    0.0992279052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.31173366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599891662597656 × 2 - 1) × π
    -0.199783325195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.627637826725395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31173366} λ = 0.31173366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627637826725395))-π/2
    2×atan(0.533851362190711)-π/2
    2×0.490360549163281-π/2
    0.980721098326561-1.57079632675     		φ = -0.59007523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31173366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.861023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59007523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.808820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72039 KachelY 78629 0.31173366 -0.59007523 17.861023 -33.808820
    Oben rechts KachelX + 1 72040 KachelY 78629 0.31178160 -0.59007523 17.863770 -33.808820
    Unten links KachelX 72039 KachelY + 1 78630 0.31173366 -0.59011506 17.861023 -33.811102
    Unten rechts KachelX + 1 72040 KachelY + 1 78630 0.31178160 -0.59011506 17.863770 -33.811102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59007523--0.59011506) × R
    3.9830000000074e-05 × 6371000     		dl = 253.756930000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59007523--0.59011506) × R
    3.9830000000074e-05 × 6371000     		dr = 253.756930000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31173366-0.31178160) × cos(-0.59007523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.830898821709073 × 6371000     		do = 253.777887485455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31173366-0.31178160) × cos(-0.59011506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.830876658700678 × 6371000     		du = 253.771118332216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59007523)-sin(-0.59011506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830898821709073-0.830876658700678)×R²
    abs(0.31178160-0.31173366)×2.21630083947488e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21630083947488e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21630083947488e-05×40589641000000     		ar = 64397.0387790566m²