Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72035 / 78622
↖ ↑ ↗
← S 33.792844°
E 17.850037°		 ← 253.83 m → S 33.792844°
E 17.852783°		 →
↑
253.82 m
↓
↑
253.82 m
↓
S 33.795127°
E 17.850037°		 ← 253.82 m →
64 425 m²		 S 33.795127°
E 17.852783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549587249755859 y=0.599842071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549587249755859 × 217)
    floor (0.549587249755859 × 131072)
    floor (72035.5)     		tx = 72035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599842071533203 × 217)
    floor (0.599842071533203 × 131072)
    floor (78622.5)     		ty = 78622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72035 / 78622 ti = "17/72035/78622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72035/78622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72035 ÷ 217
    72035 ÷ 131072     		x = 0.549583435058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78622 ÷ 217
    78622 ÷ 131072     		y = 0.599838256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549583435058594 × 2 - 1) × π
    0.0991668701171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31154191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599838256835938 × 2 - 1) × π
    -0.199676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.627302268428055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31154191} λ = 0.31154191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627302268428055))-π/2
    2×atan(0.534030530503866)-π/2
    2×0.490499969673928-π/2
    0.980999939347856-1.57079632675     		φ = -0.58979639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31154191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.850037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58979639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.792844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72035 KachelY 78622 0.31154191 -0.58979639 17.850037 -33.792844
    Oben rechts KachelX + 1 72036 KachelY 78622 0.31158985 -0.58979639 17.852783 -33.792844
    Unten links KachelX 72035 KachelY + 1 78623 0.31154191 -0.58983623 17.850037 -33.795127
    Unten rechts KachelX + 1 72036 KachelY + 1 78623 0.31158985 -0.58983623 17.852783 -33.795127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58979639--0.58983623) × R
    3.98400000000132e-05 × 6371000     		dl = 253.820640000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58979639--0.58983623) × R
    3.98400000000132e-05 × 6371000     		dr = 253.820640000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31154191-0.31158985) × cos(-0.58979639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.831053942543089 × 6371000     		do = 253.825265381268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31154191-0.31158985) × cos(-0.58983623) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83103178320131 × 6371000     		du = 253.818497347907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58979639)-sin(-0.58983623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831053942543089-0.83103178320131)×R²
    abs(0.31158985-0.31154191)×2.21593417794042e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21593417794042e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21593417794042e-05×40589641000000     		ar = 64425.2323823906m²