Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72033 / 78625
↖ ↑ ↗
← S 33.799691°
E 17.844544°		 ← 253.75 m → S 33.799691°
E 17.847290°		 →
↑
253.76 m
↓
↑
253.76 m
↓
S 33.801973°
E 17.844544°		 ← 253.75 m →
64 390 m²		 S 33.801973°
E 17.847290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.549571990966797 y=0.599864959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.549571990966797 × 217)
    floor (0.549571990966797 × 131072)
    floor (72033.5)     		tx = 72033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599864959716797 × 217)
    floor (0.599864959716797 × 131072)
    floor (78625.5)     		ty = 78625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72033 / 78625 ti = "17/72033/78625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72033/78625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72033 ÷ 217
    72033 ÷ 131072     		x = 0.549568176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78625 ÷ 217
    78625 ÷ 131072     		y = 0.599861145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.549568176269531 × 2 - 1) × π
    0.0991363525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31144604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599861145019531 × 2 - 1) × π
    -0.199722290039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.627446079126915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31144604} λ = 0.31144604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.627446079126915))-π/2
    2×atan(0.533953736722078)-π/2
    2×0.490440214839651-π/2
    0.980880429679303-1.57079632675     		φ = -0.58991590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31144604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.844544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58991590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.799691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72033 KachelY 78625 0.31144604 -0.58991590 17.844544 -33.799691
    Oben rechts KachelX + 1 72034 KachelY 78625 0.31149397 -0.58991590 17.847290 -33.799691
    Unten links KachelX 72033 KachelY + 1 78626 0.31144604 -0.58995573 17.844544 -33.801973
    Unten rechts KachelX + 1 72034 KachelY + 1 78626 0.31149397 -0.58995573 17.847290 -33.801973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58991590--0.58995573) × R
    3.9829999999963e-05 × 6371000     		dl = 253.756929999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58991590--0.58995573) × R
    3.9829999999963e-05 × 6371000     		dr = 253.756929999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31144604-0.31149397) × cos(-0.58991590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.830987466123593 × 6371000     		do = 253.752019560212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31144604-0.31149397) × cos(-0.58995573) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.830965308388387 × 6371000     		du = 253.745253429209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58991590)-sin(-0.58995573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830987466123593-0.830965308388387)×R²
    abs(0.31149397-0.31144604)×2.21577352051971e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.21577352051971e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.21577352051971e-05×40589641000000     		ar = 64390.4749970806m²