Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7203 / 4778
↖ ↑ ↗
← N 59.778522°
W 21.730957°		 ← 1 229.81 m → N 59.778522°
W 21.708984°		 →
↑
1 229.99 m
↓
↑
1 229.99 m
↓
N 59.767460°
W 21.730957°		 ← 1 230.22 m →
1 512 898 m²		 N 59.767460°
W 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439666748046875 y=0.291656494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439666748046875 × 214)
    floor (0.439666748046875 × 16384)
    floor (7203.5)     		tx = 7203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291656494140625 × 214)
    floor (0.291656494140625 × 16384)
    floor (4778.5)     		ty = 4778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7203 / 4778 ti = "14/7203/4778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7203/4778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7203 ÷ 214
    7203 ÷ 16384     		x = 0.43963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4778 ÷ 214
    4778 ÷ 16384     		y = 0.2916259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.1207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37927675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2916259765625 × 2 - 1) × π
    0.416748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30925260242297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37927675} λ = -0.37927675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30925260242297))-π/2
    2×atan(3.70340476183995)-π/2
    2×1.30706417869532-π/2
    2.61412835739065-1.57079632675     		φ = 1.04333203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37927675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04333203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.778522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7203 KachelY 4778 -0.37927675 1.04333203 -21.730957 59.778522
    Oben rechts KachelX + 1 7204 KachelY 4778 -0.37889325 1.04333203 -21.708984 59.778522
    Unten links KachelX 7203 KachelY + 1 4779 -0.37927675 1.04313897 -21.730957 59.767460
    Unten rechts KachelX + 1 7204 KachelY + 1 4779 -0.37889325 1.04313897 -21.708984 59.767460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04333203-1.04313897) × R
    0.000193059999999967 × 6371000     		dl = 1229.98525999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04333203-1.04313897) × R
    0.000193059999999967 × 6371000     		dr = 1229.98525999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37927675--0.37889325) × cos(1.04333203) × R
    0.000383499999999981 × 0.503343895659368 × 6371000     		do = 1229.80931837072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37927675--0.37889325) × cos(1.04313897) × R
    0.000383499999999981 × 0.503510706755464 × 6371000     		du = 1230.21688433537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04333203)-sin(1.04313897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503343895659368-0.503510706755464)×R²
    abs(-0.37889325--0.37927675)×0.000166811096095953×R²
    0.000383499999999981×0.000166811096095953×6371000²
    0.000383499999999981×0.000166811096095953×40589641000000     		ar = 1512897.98896953m²