Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7202 / 9252
↖ ↑ ↗
← N 61.417750°
W100.876465°		 ← 584.46 m → N 61.417750°
W100.865478°		 →
↑
584.48 m
↓
↑
584.48 m
↓
N 61.412494°
W100.876465°		 ← 584.55 m →
341 629 m²		 N 61.412494°
W100.865478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.219802856445312 y=0.282363891601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.219802856445312 × 215)
    floor (0.219802856445312 × 32768)
    floor (7202.5)     		tx = 7202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.282363891601562 × 215)
    floor (0.282363891601562 × 32768)
    floor (9252.5)     		ty = 9252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7202 / 9252 ti = "15/7202/9252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7202/9252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7202 ÷ 215
    7202 ÷ 32768     		x = 0.21978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9252 ÷ 215
    9252 ÷ 32768     		y = 0.2823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21978759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5604248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.76062645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2823486328125 × 2 - 1) × π
    0.435302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36754387236096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.76062645} λ = -1.76062645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36754387236096))-π/2
    2×atan(3.92569683227126)-π/2
    2×1.32136914402113-π/2
    2.64273828804225-1.57079632675     		φ = 1.07194196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.76062645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.876465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07194196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.417750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7202 KachelY 9252 -1.76062645 1.07194196 -100.876465 61.417750
    Oben rechts KachelX + 1 7203 KachelY 9252 -1.76043470 1.07194196 -100.865478 61.417750
    Unten links KachelX 7202 KachelY + 1 9253 -1.76062645 1.07185022 -100.876465 61.412494
    Unten rechts KachelX + 1 7203 KachelY + 1 9253 -1.76043470 1.07185022 -100.865478 61.412494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07194196-1.07185022) × R
    9.17400000000068e-05 × 6371000     		dl = 584.475540000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07194196-1.07185022) × R
    9.17400000000068e-05 × 6371000     		dr = 584.475540000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.76062645--1.76043470) × cos(1.07194196) × R
    0.000191749999999935 × 0.478419836483918 × 6371000     		do = 584.456450227138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.76062645--1.76043470) × cos(1.07185022) × R
    0.000191749999999935 × 0.478500394229755 × 6371000     		du = 584.554862731344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07194196)-sin(1.07185022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478419836483918-0.478500394229755)×R²
    abs(-1.76043470--1.76062645)×8.05577458365403e-05×R²
    0.000191749999999935×8.05577458365403e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.05577458365403e-05×40589641000000     		ar = 341629.259443757m²